Melyek azok a C (2;1) középpontú, r=2 egyensugarú kör belsejében lévő pontok, amelyek koordinátái a következő egyenletrendszer gyökei?

3^x + 3^(y-1/2) = 4

(2x-y)² = 9/4

Ha egy szám négyzete 9/4, akkor az vagy a 3/2, vagy a -3/2. Ugyanis negatív számnak is pozitív a négyzete.

Szóval két ágon kell továbbmenni:

a)

2x-y = 3/2

y = 2x-3/2

Ezt behelyettesítjük az első egyenletbe:

3^x + 3^(2x-3/2-1/2) = 4

3^x + 3^(2x-2) = 4

3^x + (3^(x-1))² = 4

3·3^(x-1) + (3^(x-1))² = 4

Vezessünk be egy új ismeretlent: z = 3^(x-1):

3z + z² = 4

A megoldóképlettel kijön, hogy z₁ = 1, z₂ = -4

3^(x-1) = 1 → x-1 = 0 → x=1

3^(x-1) = -4, ennek nincs megoldása

y = 2x-3/2 → y = -1/2

Vagyis a megoldás az (1; -1/2) pont. Ezt ellenőrizd le, hogy benne van-e a körben.

b)

2x-y = -3/2

y = 2x+3/2

3^x + 3^(2x+3/2-1/2) = 4

3^x + 3^(2x+1) = 4

3^x + 3·(3^x)² = 4

z = 3^x

z + 3z² = 4

Megoldóképletből: z₁ = 1, z₂ = -4/3

3^x = 1 → x = 0

3^x = -4/3, nincs megoldása.

x=0, y=3/2, ezt is nézd meg, hogy a körben van-e.