Hogy kell kiszámolni ezeket a feladatokat?

1)

A kör egyenlete ilyen alakú:

(x-a)² + (y-b)² = r²

Ez az (a;b) középpontú, r sugarú kör egyenlete. Ilyen alakra kell hozni az egyenletet:

x²-6x + y²+4y + 12 = 0

Teljes négyzetté kell alakítani az x-es és az y-os tagokat is:

(x-3)²-9 + (y+2)²-4 + 12 = 0

(x-3)² + (y+2)² - 1 = 0

(x-3)² + (y+2)² = 1²

A középpont és a sugár is leolvasható ebből.

2)

A kör középpontja az átmérő közepe, vagyis a két végpont átlaga:

( (-5+3)/2; (4+2)/2 ) = (-1; 3)

A sugár pedig az átmérő hosszának a fele.

Az átmérő hossza:

d = √((-5-3)² + (4-2)²)

r = d/2

Számold ki, aztán írd be az adatokat a kör egyenletébe.

Írd meg, mi lett az eredmény, leellenőrzöm.

1.

Mivel fel tudtad írni olyan alakra, ami egy kör egyenlete, ezért az bizony kör.

Akkor nem lenne kör, ha mondjuk a jobb oldalon negatív szám van, mert az nem lehet valaminek a négyzete.

2.

Megvan a kör középpontjának a koordinátája meg a kör sugara, azokat kell beírni a kör általános egyenletébe.

Azt meg írtam fent, azzal kezdtem:

"A kör egyenlete ilyen alakú:

(x-a)² + (y-b)² = r²

Ez az (a;b) középpontú, r sugarú kör egyenlete."

Itt írd be a mostani számokat az a,b,r helyébe.

Kétféleképpen is meg lehet csinálni:

1)

Azt használjuk fel, hogy mindhárom pont a körön van, tehát kielégíti a kör egyenletét.

A kör egyenlete persze megint ez:

(x-a)² + (y-b)² = r²

Az, hogy egy (x;y) pont kielégíti az egyenletet azt jelenti, hogy ha a pont koordinátáit behelyettesíted x és y helyébe, akkor teljesül az egyenlet. Ebből lesz 3 egyenlet:

A(2;2) ponthoz: (2-a)² + (2-b)² = r²

B(2;4) ponthoz: (2-a)² + (4-b)² = r²

C(6;4) ponthoz: (6-a)² + (4-b)² = r²

Van tehát 3 egyenlet és 4 ismeretlen, ezekből kijön a megoldás.

Nem kell megijedni a négyzetektől, kiesik majd mind, sima elsőfokú egyenletek lesznek. Fejtsük ki a négyzeteket mindhárom egyenletnél:

4-4a+a² + 4-4b+b² = r²         → a² + b² - 4a - 4b + 8 = r²

4-4a+a² + 16-8b+b² = r²       → a² + b² - 4a - 8b + 20 = r²

36-12a+a² + 16-8b+b² = r²   → a² + b² - 12a - 8b + 52 = r²

Az elsőből vonjuk ki a másodikat:

4b - 12 = 0 → b=3

A másodikból vonjuk ki a harmadikat:

8a - 32 = 0 → a = 4

Ezek után az r bármelyikből kijön, mondjuk az elsőből:

4² + 3² - 4·4 - 4·3 + 8 = r² → r = √5

2)

Ugyanúgy, mintha szerkesztenénk:

Meg kell határozni két szakaszfelező merőleges egyenletét, és azok metszéspontja lesz a kör középpontja:

AB szakasz fele: M₁((2+2)/2; (2+4)/2) = (2; 3)

AB irányvektora: v₁(2-2; 4-2) = (0; 2)

Ez lesz a merőleges normálvektora.

Az M₁ ponton átmenő v₁ normálvektorú egyenes egyenlete:

0x + 2y = 0·2 + 2·3 → y = 3

BC szakasz fele: M₂(4;4) [az a helyzet, hogy ránézésre látszik ez is meg az előző is, az előbb mutattam, hogy hogyan menne, ha nem látszódna ránézésből]

BC irányvektora: v₂(4;0)

M₂ ponton átmenő merőleges egyenlete:

4x + 0y = 4·4 + 0·4 → x = 4

Vagyis a két egyenes egyenlete ez:

y = 3

x = 4

A kör középpont tehát a (4; 3) pont.

A kör sugara a középpont és bármelyik kerületi pont távolsága. Azt Pitagorasszal lehet számolni:

Mondjuk az A(2;2) pont távolsága:

r² = (4-2)² + (3-2)² = 5

r = √5

Most a kézhezálló adatok miatt ez a módszer lett a gyorsabb, de sokszor az első a jobb.

Magasságpont:

Olyan, mint az előbb a 2) megoldás, csak nem a szakaszfelezőbe kell merőlegest állítani, hanem a szemközti csúcsba.

Tehát a C(6;4) pontba kell a v₁(0; 2) normálvektorral felírni az egyenes egyenletét:

0x + 2y = 0·6 + 2·4 → y = 4

A másikat meg: az A(2;2) ponton átmenő v₂(4;0) irányvektorú egyenes:

4x + 0y = 4·2 + 0·2 → x = 2

Ezeknek a metszéspontja a (2;4) pont, az a magasságpont.