Fizika, egyenaram, ezeket az aramkoros feladatokat hogyan kell megoldani?

3.a)

P = U·I

I = U/R

P = U²/R

P·R = U²

Az r belső ellenállás és az R külső sorba vannak kötve. Így a fogyasztón eső feszültség:

U = E·R/(R+r)

80·5 = E²·5²/(5+r)²

80·20 = E²·20²/(20+r)²

... meg kell oldani az egyenletrendszert.

3.b)

P = U²/R

U = E·R/(R+r)

P = E²·R/(R+r)²

Ez akkor maximális, ha R/(R+r)² maximális. Ha tanultatok deriválni, akkor deriválással kijön, hogy hol van szélsőértéke ennek a függvénynek (r konstans, R pedig a változó, a szerint kell deriválni).

Ha nem tanultatok még differencioálszámítást, akkor kijön a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségből is:

Nézzük az R és r pozitív számok közepeit. Tudjuk, hogy

(R+r)/2 ≥ √(R·r)

egyenlőség akkor áll fenn, ha R=r

(R+r)²/4 ≥ R·r

1/(4r) ≥ R/(R+r)²

Ez azt jelenti, hogy R/(R+r)² maximuma 1/4r, és ezt akkor veszi fel, ha R=r.

A teljesítmény maximuma így:

Pmax = E²/(4r)

Lehet, hogy nem kell tudni ezt levezetni, mert tanultátok is, hogy akkor a legnagyobb a leadott teljesítmény, ha a külső ellenállás megegyezik a belsővel. Nem emlékszem, hogy ilyen lenne a gimis könyvben, de lehet...

3.c)

Ez könnyű: I = E/(R+r)

3.d)

η = Ph/Pö         (hasznos per összes teljesítmény)

Ph = U²/r

Pö = E²/(R+r)

Ezeket csak ki kell számolni...

Ha R=r, akkor az előbb már kijött, hogy

Pmax = E²/(4r)

Pö = E²/(2r)

A kettő hányadosa 50%-os hatásfokot jelent. (Ami könnyen belátható, hisz ha R=r, akkor az energia egyik fele a fogyasztón, másik fele belül hat).

4.a)

Az ellenálláshálózat eredő ellenállása:

Bal oldalon 23+47 = 70 Ω

Jobb oldalon szintén

Eredő ezek fele, 35 Ω

I = E/(r+35) = E/40 ...

Az A és C pont között esik U = E·35/(35+5) volt feszültség. Ez kijön gyorsan. Ebből a B pont potenciálja U·47/(47+23), a D ponté pedig U·23/(47+23)

Vagyis CD közötti feszültségkülönbség:

U·(47-23)/(47+23)

4.b)

P = U·I

Az előbb U-t és I-t is kiszámoltuk már.

4.c)

Akkor azonos a B és D pontok potenciálja, ha R₂/R₄ = R₁/R₃, hisz akkor lesz a feszültségosztás azonos.

Átrendezve:

R₄ = R₂·R₃/R₁

4.d)

Akkor maximális a teljesítmény, ha a külső ellenállás is 5Ω (=r)

Most a külső 35Ω, ezzel párhuzamosan ha még 6 darab 35Ω-osat kötünk, akkor az eredő már 35/7 = 5Ω lesz. A 6 darab 35 Ω-os eredője pedig 35/6 Ω, ekkorát kell az A és C közé kötni.

De ki lehet számolni "hivatalosan" is a párhuzamos eredő ellenállás képletével... Ahogy én csináltam, úgy viszont fejben is megvan.

Ja, és a Pmax értéke E/(4r), mint az előbb.