Nevezetes egyenlőtlenség (? )

Feltehető, hogy a≤b≤c, lehetne alkalmazni a Csebisev egyenlőtlenséget a feladat feltétetleinek megfelel,

de úgy nézem az egy kicsit durva lenne itt.

Ha a=0, akkor nyilvávaló a megoldás, tehát vizsgáljuk csak azt az esetet, ha 0<a.

Jelölje:

E = √[a/(b+c)] + √[b/(a+c)] + √[c/(b+a)]

Mivel a/(b+c)= (a/(a+b+c)) /(b/(a+b+c) + c/(a+b+c))

ezért feltehető, hogy a+b+c=1

Ha c≥4/5, akkor megint nyilvánvaló a megoldás, tehát feltehető, hogy c<4/5.

Nézzük először ezt az egyenletet a 0<a<1 intervallumon:

√[a/(1-a)] ≥2a

a/(1-a) ≥4a²

a ≥4a²(1-a)

ha a nem 0 osztani lehet vele

1≥4a-4a²

4a²-4a+1≥0

(2a-1)²≥0

Ami mindíg igaz, egyenlőség áll fenn, ha a=1/2

Tehát az √[a/(1-a)] ≥2a egyenlet mindíg igaz a [0,1] intervallumon és egyenlőséget kapunk ha a=0 vagy 1/2.

Viszont akkor E≥ 2a+2b+2c = 2(a+b+c)=2

Itt megint az egyenlőséget akkor kaphatjuk meg ha a=0,b=1/2, c=1/2

Az történt, igazoltam.

Jelölje:

E = √[a/(b+c)] + √[b/(a+c)] + √[c/(b+a)]

Nézzük először ezt az egyenletet a 0<x<1 intervallumon:

√[x/(1-x)] ≥2x

x/(1-x) ≥4x²

x ≥4x²(1-x)

ha a nem 0 osztani lehet vele

1≥4x-4x²

4x²-4x+1≥0

(2x-1)²≥0

Ami mindíg igaz, egyenlőség áll fenn, ha x=1/2

Tehát az √[x/(1-x)] ≥2x egyenlet mindíg igaz x ∈ [0,1] és egyenlőséget kapunk ha x=0 vagy 1/2.

E=√[a/(b+c)] + √[b/(a+c)] + √[c/(b+a)] =

=√[(a/(a+b+c))/(1-a/(a+b+c))] + √[(b/(a+b+c))/(1-b/(a+b+c))] + √[(c/(a+b+c))/(1-c/(a+b+c))] ≥

≥ 2a/(a+b+c) +2b/(a+b+c) + 2c/(a+b+c) = 2

És az egyenlőség akkor teljesűl, ha a fenti x-es egyenlőségben is pont mindenhol egyenlőség van, ami csak úgy lehet, ha az egyik változó 0, a másik kettő meg 1/2.

Nézük akkor az egyenlőtlenségünket,

azt kell bizonyítnai,

hogy E≥2

Viszont akkor E≥ 2a+2b+2c = 2(a+b+c)=2

Itt megint az egyenlőséget akkor kaphatjuk meg ha a=0,b=1/2, c=1/2