Az (x^2+324) /x egyenletnek az értéke mikor minimális? A megoldás x=18, csak azt nem értem hogy hogy jön ki. Valaki le tudná nekem vezetni hogy hoy jutunk el a minimumához?

Deriválni kell, és ahol az 0, ott van szélsőérték, aztán le kell csekkolni, hogy az tényleg minimum-e.

Először is osztunk x-szel, mert utána egyszerűbb:

y = x + 324/x

A derivált:

y' = 1 - 324/(x^2)

(mert 1/x/nek a deriváltja -1/(x^2))

Tehát azt keressük, amikor y'=0:

1 - 324/(x^2) = 0

324 = x^2

x = 18 vagy -18

A probléma az, hogy az x=18 csak egy lokális minimum, tehát nem jó megoldás, ha így van feltéve a kérdés. Mert x<0 esetén ennél sokkal kisebb számok is vannak, mert az origóra tükrözve van a fv, hasonlóan, amint az 1/x., és valójábn -végtelenhez tart a függvény, amikor x tart -végtelenhez, meg akkor is, amikor x a negatív értékek felől tart 0-hoz.

Általában ilyen feladatokat analízissel oldjuk meg:

Vizsgáljuk:

f(x) = x + 324/x

Deriváltjai:

f'(x) = 1 - 324/x^2

f''(x) = 648/x^3

Az első derivált zérushelyei megadják a lehetséges szélsőréték helyeket:

f'(x) = 0

1 - 324/x^2=0

Innen x=18 vagy x=-18

A második derivált ezen pontokban felvett értékét vizsgáljuk:

f''(18) > 0 => lokális minimum

f''(-18) < 0 => lokális maximum

Az elég egyértelmű, hogy ha x -> -0, akkor f(x) -> -végtelen, tehát abszolút minimuma nincs a függvénynek.

Viszont ha csak pozitív x-ekre nézzük, akkor x->+0 esetén f(x) -> +végtelen; és x -> +végtelen esetén is f(x)->+vlgtelen (hisz x -> +végtelen; 324/x -> 0), tehát a pozitív x-ekre x=18, abszolút minimum hely is.

A minimum érték 36.

Pozitívakra egyszerűbben megoldható amúgy közepekkel:

x + 324/x minimuma ugyan ott van, ahol [x + 324/x]/2 minimuma. Az útobbi viszont épp x és 324/x számtani közepe. Ettől biztos kisebb egyenlő a mértani közepe, ami négyzetgyök alatt x*(324/x), azaz 18. Ez egy konstans, tehát 18-tól biztos nagyobb egyenlő [x+324/x]/2, ha egyenlőség fenn áll, akkor az biztos a minuma lesz. Egyenlőség viszont akkor állhat fel két szám két közepe közt, ha a két szám egyenlő, tehát x = 324/x, ezt viszont x=18 teljesíti. Tehát x=18-ban van a minimuma.

Egy másik megoldás lehet a következő.

(x^2+324)/x = min => x^2-min*x+324=0 egyenletet kell megoldani úgy, hogy csak egy megoldása legyen. Ennek feltétele, hogy a diszkrimináns nulla legyen:

min^2-4*324=0, vagyis min = +-36, és ezek közül nyilván -36 a kisebb.

Visszahelyettesítve ezt a másodfokú egyenletbe x megoldása ilyen min értékre: x=18. Ez egy lokális minimuma a kifejezésnek.

Ha globális minimumot keresünk, akkor hamar rájöhetünk, hogy a teljes valós számok halmazán az nem létezik, hiszen ha pl. x tetszőlegesen kicsi abszolútértékű negatív szám, akkor az (x^2+324)/x kifejezés is egyre negatívabb lesz. Ha viszont x csak pozitív lehet, akkor x=18 a minimumhely.

Elnézést, helyesbítenék.

Természetesen a min=36-ra jön ki az x=18 megoldás. A min=+-36 a két szélsőérték, és ezek egyike a minimum. A minimum pedig +36-nál van, mert x<0 esetén nincs minimum (ugyanis -36-ra jön ki az x=-18 megoldás, de mint azt az előbb írtam, nulláhozközeli negatív x-ekre nagyon negatív a kifejezés értéke is).