Algebrai törtek egyszerűsítését ki tudná elmagyarázni?

Először egy formai megjegyzés: Itt a számítógépen a törtet nem tudjuk hosszú vízszintes vonallal írni; ha csak egy per-jelet írsz, abból nem lehet tudni, hogy meddig tart a vonal, ezért a legjobb zárójelbe tenni a számlálót is meg a nevezőt is.

Másik, de ez nem zavarja a megértést: az x négyzetet így szoktuk írni: x^2. (Van rá x² jel is, de az nincs a billentyűzeten, teljesen jó az x^2 is. De érthető úgy is, ahogy írtad.)

---

A három feladat teljesen más, nem lehet egy közös receptet mondani, hogy hogyan lehet megoldani. Annyi a közös csak, hogy nézegetni kell a számlálót is meg a nevezőt is, hogy jöjjön egy ötlet, hogy hogyan tudjuk őket szorzattá alakítani. Akkor lesz esély arra, hogy egyszerűsítsünk.

---

Kezdjük a másodikkal, az a legegyszerűbb:

(8xy - 6y - 3 + 4x)/(16x² - 9)

A nevező a könnyebb: ránézésre látszik, hogy a²-b² alakú, ahol a=4x, b=3. Azt pedig tanultátok, hogy hogyan lehet szorzattá alakítnai: (a+b)(a-b)

Most tehát a nevező (4x+3)(4x-3)

Ha lehet egyszerűsíteni, akkor e két dolog közül valamelyik lesz a számlálóban is, szóval olyat érdemes keresni.

Látszik, hogy 4x-3 van a számlálóban (utolsó 2 tag), nézzük, hogy a számláló többi részével mit lehet kezdeni. Abban mindkét tagban van y, sőt, 2y, azt ki lehet emelni:

2y(4x-3) + (4x-3)

Nagyon jó, a (4x-3) ott is megjelent, kiemelhető:

(4x-3)(2y + 1)

Ez tehát a számláló.

Most már lehet egyszerűsíteni, ez marad:

(2y+1)/(4x+3)

---

Az első:

(6x²-2x-20)/(3x²+11x+10)

Ezeknél ránézésre nem látszik semmi, hogy hogyan lehet szorzattá alakítani. Viszont a másodfokú kifejezés gyökei (x₁ és x₂) pont olyan számok, amikkel (x-x₁)(x-x₂) szorzat készíthető, aminek a valahányszorosa lesz az eredeti kifejezés.

Szóval érdemes a megoldóképlettel kiszámolni a gyököket.

A számláló:

6x²-2x-20 = 0 gyökei x₁ = 2 és x₂ = -5/3

(x-2)(x+5/3) viszont nem a teljes számláló, hiszen pl. abból csak x² lesz a négyzetes tag, nem pedig 6x², ezért még 6-tal kell szorozni.

6(x-2)(x+5/3)

Most 3-mat érdemes bevinni a második zárójelbe, hogy ne legyen ott tört (5/3):

2(x-2)(3x+5)

Ellenőrizd le, hogy ez tényleg ugyanaz, mint a számláló.

A nevező:

3x²+11x+10 = 0 gyökei x₁ = -2, x₂ = -5/3

Megint 3-mal még szorozni kell, amit vigyünk be az 5/3-os tényezőbe:

(x+2)(3x+5)

Ezt is ellenőrizd le visszaszorzással.

Kész, most már tudunk egyszerűsíteni (3x+5)-tel. Ami marad: 2(x-2)/(x+2)

---

Az utolsó:

(6ax + 9a + 8x + 12)/(3ax + 15a + 4x + 20)

A számláló:

Vonjuk össze az x-es tagokat és emeljünk ki x-et:

x(6a+8) + (9a+12)

Az első zárójelből még 2 is kiemelhető, a másodikból meg 3:

2x(3a+4) + 3(3a+4)

Nagyon jó, 3a+4 is kiemelhető:

(3a+4)(2x+3)

A nevező:

3ax + 15a + 4x + 20

Itt is az x-es tagokból emeljünk ki x-et:

x(3a+4) + (15a+20)

Már látszik, hogy majd a 3a+4 lesz az esélyes arra, hogy azzal lehet egyszerűsíteni. Valóban, ha a második zárójelből kiemelünk 5-öt, ez lesz:

x(3a+4) + 5(3a+4)

vagyis a szorzat:

(3a+4)(x+5)

Most már tudunk a számláló és nevező között egyszerűsíteni (3a+4)-gyel, ez marad:

(2x+3)/(x+5)

Ha nem tanultátok még a másodfokú egyenlet megoldását (a "megoldóképletet"), akkor az első feladatot máshogy kell megoldni.

(6x²-2x-20)/(3x²+11x+10)

Szóval szorzatot kell csinálni mind a kettőből. Ilyesmi lesz, ha sikerül:

(ax + b)(cx + d)

Itt az a,b,c,d valamilyen számok, feltehetőleg egész számok (ha a tanár nem akar szívatni titeket, és nem is szokott akarni egyik, csak ritkán :D ), de lehet pozitív is meg negatív is.

Az első megoldási mód az, hogy gyakorlatilag találgatunk:

Ha beszorozzuk, ez jön ki:

ac·x² + (bc+ad)x + bd

és ezt szeretnénk kihozni: (a nevezőben vannak kisebb számok, azzal érdemes kezdeni)

3x² + 11x + 10

Vagyis ac = 3 és bd = 10.

Egészekkel 1·3 illetve valószínű 2·5 (vagy esetleg 1·10) lehetnek az a,c,b,d. Persze az is kellene, hogy bc+ad = 11 legyen. Kis találgatással ki is jön, hogy 3·2+1·5 = 11, tehát c=3, b=2, a=1, d=5. Vagyis a szorzat ez:

(x+2)(3x+5)

A számlálónál nagyobb számok vannak, ott több lehetőség közül kellene találgatni, inkább ne tegyük. Ha lehet egyszerűsíteni, akkor a két zárójeles kifejezés egyike lesz itt is, inkább induljunk ki ebből.

Nézzük az (x+2)-t. Ezzel kellene szorozni: (6x+...), hogy 6x² legyen. A pontpontpont meg -10 kellene legye, hogy 2·(-10)-ből -20 jöjjön ki. Vagyis (x+2)(6x-10). Ha viszont ezt beszorozzuk, akkor 6x²+2x-20 jön ki, szóval ez nem lett jó.

Akkor nézzük a (3x+5)-öt. 6x²-hez 2x kell legyen a másik szorzó eleje, a vége meg 5·4=20 miatt -4. Vagyis ez:

(3x+5)(2x-4)

Ha beszorozzuk, 6x²+10x-12x-20 = 6x²-2x-20 jön ki, HEURÉKA.

Szóval a számláló (3x+5)(2x-4).

Egyszerűsíteni (3x+5)-tel lehet, ami megmarad, az (2x-4)/(x+2)

Mindjárt írom a másik módszert.

A számláló:

6x²-2x-20 = 6(x² - x/3 - 10/3)

Csináljunk teljes négyzetet a zárójeles kifejezésből. (Ezt tanultátok?)

Ehhez tudni kell ezt a nevezetes szorzatot:

(a-b)² = a² - 2ab + b²

Ráadásul visszafelé kell tudni!

a² - 2ab + b² = (a-b)²

A mostani kifejezés eleje (vagyis az, hogy x²-x/3) úgy néz ki, mint az (x - 1/6)² eleje (ami x² - x/3 + 1/36)

Vagyis x² - x/3 = (x - 1/6)² - 1/36

A teljes kifejezés pedig: x² - x/3 - 10/3 = (x - 1/6)² - 1/36 - 10/3 = (x - 1/6)² - 1/36 - 10·12/36 = (x - 1/6)² - 121/36

Most pedig azt a nevezetes szorzatot kell tudni, hogy a² - b² = (a+b)(a-b)

Ugyanis (x-1/6)² az egy négyzetes dolog, és a 121/36-ból is tudunk olyat csinálni: Szerencsére 121=11² és 36=6²:

121/36 = (11/6)²

Vagyis az a meg a b most ilyenek: a=(x-1/6), b=11/6

A szorzat pedig:

(x-1/6+11/6)(x-1/6-11/6) = (x+10/6)(x-12/6) = (x+10/6)(x-2)

Ne felejtsük el, hogy még 6-tal mindezt szorozni kell, hisz azt az elején "levettük" róla, hogy x² legyen, ne pedig 6x².

6·(x+10/6)(x-2) = (6x+10)(x-2)

A nevező:

3x²+11x+10

Ezzel is csináljuk végig ugyanezt:

3(x² + 11/3·x + 10/3)

A zárójelen belülinek az eleje ehhez a négyzethez hasonlít: (x + 11/6)² = x² + 11/3·x + 11²/6²

Vagyis x² + 11/3·x + 10/3 = (x + 11/6)² - 11²/6² + 10/3

A 10/3-ból csináljunk 6²-es közös nevezőt: 10·12/36

-11²/6² + 120/6² = -1/6²

Vagyis most itt tartunk:

(x + 11/6)² - 1/6²

Most jön az (a+b)(a-b):

(x + 11/6 + 1/6)(x + 11/6 - 1/6) = (x+2)(x+5/3)

És még vissza kell szorozni a 3-at:

3·(x+2)(x+5/3) = (x+2)(3x+5)

Már csak az egyszerűsítés marad. Ahhoz a számlálóban a (6x+10) = 2·(3x+5), és ezzel lehet egyszerűsíteni.

Tehát ami megmarad:

2(x-2)/(x+2)