3*17^n+9^n+1|4 megoldása?

Gondolom az a kérdés, hogy mikor osztható 4-gyel ez a kifejezés? Csak azért, mert ez a jelölés nem azt jelenti!!! Ez azt jelenti, hogy a kifejezés osztója a 4-nek, ami sosem teljesül.

De ha fordítva van, hogy

4 | 3·17ⁿ + 9ⁿ + 1

akkor azt érdemes csinálni, hogy 17ⁿ = (16+1)ⁿ valamint 9ⁿ = (8+1)ⁿ

És mivel 4|16 és 4|8, ezért a hatvány kifejtésekor az utolsó tagot kivéve mindegyik tag 4 többszöröse lesz. Az utolsó tag pedig 1ⁿ mindkét hatványnál. Vagyis 4-gyel osztva a kifejezést a maradék ennyi:

3·1 + 1 + 1 = 5

Tehát sosem lesz 4 többszöröse, mindig 1 lesz a maradék.

Akkor a maradék 3·1 + 1 = 4, mindig osztható 4-gyel.

Egyébként azt így kell írni: 9^(n+1)

A másik:

7 | 3*9^n+2^(n+2)

Gondolom itt is (n+2)-ediken van, nem pedig n-ediken + 2.

9ⁿ = (7+2)ⁿ, ebben az utolsó tagot kivéve, ami 2ⁿ, mindegyik más osztható 7-tel. Azok nem számítanak, marad ez:

3·2ⁿ + 2ⁿ⁺¹

Ki lehet emelni 2ⁿ-t:

= 2ⁿ(3+2)

Ez sosem lesz 7-tel osztható.

3·(16+1)ⁿ + (8+1)ⁿ

Ha kifejted a hatványokat, akkor jön belőle a 3·1+1. Így:

Nézzük mondjuk ezt: (8+1)ⁿ

(8+1)ⁿ = 8ⁿ + n·8ⁿ⁻¹·1 + valamennyiszer 8ⁿ⁻²·1² + ... + n·8·1ⁿ⁻¹ + 1ⁿ

Ebből mindegyik tag osztható 8-cal (vagyis 4-gyel), kivéve az utolsót, ami 1ⁿ = 1.

Amik oszthatóak, azok nem számítanak, mert azokból ki lehet emelni 4-et. A maradék 1 számít csak.

És ebből a maradék 1-ből lesz a 3·1+1

Én nem LOL-oznék annyira!

Gondolj bele, igaz, amit írtam.

Kedves kérdező, úgy nézem bongolo a standard binomialis tételes megoldást írta fel, ha ezt nem tanultad még, akkor esetleg teljes indukció menni fog:

Jelölje f(n)= 3*17^n+9^(n+1)

f(1)=3*17+9²= 132 ami osztható 4-gyel.

Tegyük fel, hogy valamilyen n=k esetén igaz az állítás,

f(k)=4*p ahol p egész szám.

Bizonyítsuk be, hogy n=k+1 esetén is igaz.

f(k+1) = 3*17^(k+1) + 9^(k+2) = 17*3*17^k + 9*9^(k+1) =

9*(3*17^k + 9^(k+1)) + 8*3*17^k = 9*4*p + 8*3*17^k =

=4*(9*p+2*3*17^k) vagyis ez is osztható 4-gyel.

Ennyi.