Matek, körök (? )

Tudod hogy kell egy adott pontban körhöz érintőt szerkeszteni?

Tudod hogy kell egy adott pontból egy körhöz érintőt szerkeszteni?

Ez a két alap kell a feladat megoldásához.

A két kör közti közös érintő:

Kösd össze a két kör középpontját és ahol metszi a két kört, a közös érintési pontban szerkessz rá merőlegest.

A közös külső erintő szerkesztése:

Feltételezem R>r

szerkessz a nagy kör közeppontja köré egy R-r sugarú kört.

Szerkessz ehhez érintőt a kis kör középpontjából.

A nagy kör középpontjábó húzz félegyenest az érintési ponton keresztül, ahol az egyenes metszi a nagy kört ott állíts rá merőlegest. Ez lesz a közös érintő.

Két ilyet kell kapnod.

A kimetszés gondolom menni fog.

Ha a kérdezőnek a számításra lenne szüksége, itt megtalálja:

[link]

Körök és érintői címen.

Sajnálom, hogy csak most jutottam el ehhez a feladathoz, de az általam nagyra becsült Száldobágyi mester míves, barokkosan cirkalmas megoldását nem tudom szó nélkül hagyni.

Egy dolgot kell észrevenni:

A rajz jelöléseit használva:

AD = AE = AM (külső pontból húzott érintők azonossága)

Amiből következik, hogy a keresett AB = 2*AM távolság egyenlő a DE távolsággal!

Ez utóbbi pedig nem más, mint a közös külső érintőnek az érintési pontok közé eső része.

A geometriából adódóan ez a szakasz egy olyan derékszögű háromszög egyik befogója, melynek átfogója a két sugár összege, a másik befogója pedig a két sugár különbsége.

A DE = t jelöléssel

t² = (R + r)² - (R - r)²

műveletvégzés és összevonás után

t = 2√(Rr)

========

vagyis a keresett távolság a két sugár mértani közepének a kétszerese.

Általánosan megfogalmazva.:

ha két kör középpontja között L >= (R + r) távolság van, akkor a közös belső érintőknek a közös külső érintők közé eső szakasza egyenlő a közös külső érintőkön fekvő érintési pontok közé eső szakasz hosszával.

DeeDee

**********

Köszönöm DeeDee válaszát, az eredményemet látva sejtettem a folytatást. Természetesen az előző linken már DeeDee megoldása is látható.

Ma egy megoldáshoz eleve oda is írtam, hogy szebb megoldást várnék valakitől:

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

Természetesen ez a kérdés is bekerült az emlékkönyvbe:

[link]