Hogyan kell megoldani az alábbi lineáris algebrai feladatokat?

1.)

Ha v-nek hívjuk az [1 2] vektort, akkor ilyen az egyenlet:

A·v = (-1)·v

Vagyis a mátrix egyik sajátértéke λ = -1

A másik mátrix pont az A-λ·E mátrix, aminek viszont tudjuk, hogy 0 kell legyen a determinánsa, hisz λ a sajátérték.

2.)

Az a×b vektoriális szorzat merőleges lesz mindkettőre.

c = a×b =

c1 = a2b3 - a3b2 = 2·4 - 3·3 = -1

c2 = a3b1 - a1b3 = 3·2 - 1·4 = 2

c3 = a1b2 - a2b1 = 1·3 - 2·2 = -1

c = [-1 2 -1]

3.)

A komplex vektorokkal nem vagyok teljesen tisztában, de azt hiszem, ez a megoldás:

A két vektor keresztszorzata olyan vektor lesz, ami merőleges mindkettőre. Ennek akármilyen c komplex szám-szorosa szintén merőleges lesz (hiszen ha a és b merőleges vektorok, akkor az <a,b> skalárszorzat nulla, emiatt az <a,c·b> = c·<a,b> skalárszorzat is nulla.

Vagyis ha kiszámolnánk a keresztszorzatot (egyébként [i+1 -i-1 2i], de nincs rá szükség), és kiszámolnánk ennek a normáját (ami √8, de erre a számra sincs szükség), akkor találhatunk olyan c számokat, amiknek a hossza éppen 1/√8 (vagyis a norma reciproka), így a szorzatvektor normája 1 lesz. Na most végtelen sok olyan komplex szám van, aminek a hossza 1/√8 (vagy bármi), tehát végtelen sok 1 normájú ilyen vektor van.