Hogyan kell az alábbi feladatokat megoldani? Három különböző feladat. Lineáris algebra.

1.

Többféleképpen is meg lehet oldani, de bizonyára a bázistranszformáció gyakorlására van ez a feladat. Nézz utána, hogy azt hogy kell csinálni. Itt hosszú lenne leírni.

2.

Itt nem sima vektortér van, hanem mátrixok altere. Az eredet ℝ^(2×2) térhez, vagyis a 2×2-es mátrixok teréhez ez a 4 mátrix egy bázis:

(1 0)   (0 1)   (0 0)   (0 0)

(0 0)   (0 0)   (1 0)   (0 1)

Most jön a feladat: Amikor az altér olyan mátrixokból áll, amik azonosak a transzponáltjukkal, akkor egy mátrix általános alakja ilyen:

(a b)

(b c)

Könnyen belátható, hogy mondjuk ez a 3 mátrix lehet bázis:

(1 0)   (0 1)   (0 0)

(0 0)   (1 0)   (0 1)

Odafelé egyértelmű, hogy ennek a 3 mátrixnak a lineáris kombinációja előállítja az összes szóba jöhető mátrixot, tehát az altér dimenziója legfeljebb 3. Visszafelé, ha bármelyik mátrixot elhagyjuk ebből a bázisból, akkor a maradék kettővel nem lehet mindent előállítani, tehát 2 nem elég. Tehát az altér dimenziója 3.

3.

Öt számból (5 alatt 2) = 10 párt lehet kiválasztani, és ebből a 10-ből 6 esetben nagyobb a bal oldali szám a jobb oldalinál (vagyis hatszor van inverzió), 4 esetben pedig nincs inverzió. Mivel 1 a legkisebb érték, ezért egyértelmű, hogy a 4 nem inverz eset ezeknél a pároknál van: (1,i) (1,j) (1,k) (1,2), hisz ezeknél az első szám kisebb a másodiknál. A többi 6 pár ezek:

(i,j) (i,k) (i,2) (j,k) (j,2) (k,2)

Ezekben mindenhol a kezdő szám a nagyobb, pl. i>j, j>k, k>2, vagyis pont csökkenő sorrendben vannak: i=5, j=4, k=3