Hogyan kell a képen látható lineáris algebrai feladatokat megoldani?

1.) Kétféle megoldás jutott eszembe.

a.) Végiggondolható, hogy mit csinál a fi leképezés. A fi az egész teret beleképezi az x-z síkba. A fi^2 az x-z síkot előbb beforgatja y-z síkba, majd azt benyomva az x-z síkba, minden a z egyenesre kerül. A fi^3 a fi^2 után már nem csinál semmit. Tehát Im(fi^3)=z-tengely, ami 1-dimenziós.

b.) Felírható fi mátrixa: A=

| 0 0 0|

|-1 0 0|

| 0 0 1|

fi^3 mátrixa A^3, ami

|0 0 0|

|0 0 0|

|0 0 1|

dim(Im(fi^3))=rang(A^3)=1.

2.) Ha jól értelmezem, akkor a megadott két vektor belső szorzata a c paraméterrel együtt 1*1+(1+i)*(1+i)+i*c, azaz elvégezve a szorzásokat és összevonásokat: 1+2i+ci.

Tehát a 1+2i+ci egyenletet kell megoldani c-re. Ebből jön, hogy c = (-1-2i)/i = i-2.

3.) A lambdát a továbbiakban L-lel jelölöm. A negatív definitség főminoros jellemzését használjuk. Így kapjuk, hogy L<0 és L^2-4>0 kell, hogy legyen. Az egyenlőtlenségrendszert megoldva kapjuk, hogy L<-gyök(2).

fi egy forgatás és egy vetítés szorzata, tehát a mátrixa is két mátrix szorzata.

A forgatás mátrixa:

| 0 1 0|

|-1 0 0|

| 0 0 1|

Ez a z koordinátát változatlanul hagyja, és az x-y síkon vett forgatásra már ott van a

| cos(szog) sin(szog)|

|-sin(szog) cos(szog)|

mátrix. A szog most 90 fok, a megfelelő 2×2-es mátrix szerepel a nagy mátrix bal felső részén.

A vetítés mátrixa egyszerűbb, mert annak csak annyit kell csinálnia, hogy a középső koordinátát tűntesse el. A mátrix:

|1 0 0|

|0 0 0|

|0 0 1|

A két mátrix szorzata a fi mátrixa.

(Nem tudom nálatok hogy csinálják, én mindig sorvektorra szoktam alkalmazni a transzformációkat, és a mátrixokat is ez alapján állapítottam meg. Oszlopvektorral dolgozva a forgatás mátrixát transzponálni kell, és fordítva kell a két mátrixot összeszorozni, és fi mátrixára is a transzponáltat kapjuk.)

Ha a 2.-ban valóban -3i a végeredmény, akkor az azért van, mert én nem értelmezem jól a b*a szorzást. Négy éve tanítok lineáris algebrát, de ezzel a jelöléssel még nem találkoztam, csak tippeltem, hogy mit jelent.

A harmadikban valóban elírtam, gyök(4) kell, azaz 2.

Egy szimmetrikus mátrix negatív definit, ha a bal felső főminorai felváltva -,+,-,+,... előjelűek. A bal felső főminorok a bal felső sarokban található aldeterminánsok. Kétszer kettes mátrix esetén csak két főminor van:

a bal felső elem egymagában - neki negatívnak kell lenni

az egész determináns - neki pozitívnak kell lenni