Logaritmusos feladatok, hogyan kell megoldani őket?

1.

A kikötéshez elég, hogy x ∈ ℝ⁺, szóval csak pozitívnak kell lennie, de nem kell racionálisnak is.

Vonjunk mindkét oldalból 3-as alapú logaritmust:

(2+log_3(x))·log_3(x) = 8

Ezek után ha bevezetjük a z = log_3(x) jelölést:

2z + z² = 8

A folytatást rád bízom.

Hát, a 3. nem tudom, hogy megy. Ilyesmiket próbálnék:

4^log y = (2^2)^log y = 2^(2log y) = 2^(log y²)

vagyis

4^log_2x(6) = 2^log_2x(36)

Logaritmus alapját úgy lehet átváltani egyikből a másikba, hogy:

log_a(b) = log_c(b)/log_c(a)

Váltsuk át 2-es alapba mindet:

log_2x(36) = log_2(36)/log_2(2x)

log_3(6) = log_2(6)/log_2(3)

log_3(x+1) = log_2(x+1)/log_2(3)

A log_2(3) a törtben ki is esik, tehát az jön ki a második hatvány kitevőből:

log_3(6)/log_3(x+1) = log_2(6)/log_2(x+1)

Aztán: log(a)/ log(b) = log(a^(1/log(b)))

És mivel 2^log_2(b) = b, ezért a hatványokból ez jön ki:

36^(1/log_2(2x)) - 6^(1/log_2(x+1)) - 2 = 0

vagy máshogy:

6^(2/log_2(2x)) - 6^(1/log_2(x+1)) - 2 = 0

És innen nem tudom a folytatást.

Néztem wolframalpha-val is, 2.487678... lett az eredmény. De csak numerikusan tudta kiszámolni, nem átalakítgatásokkal.

Néztem azt is, hátha elírtad, és pl. nincs zárójel a log_3x+1-ben, szóval log_3(x)+1 lenne valójában.

log_3(x)+1 = log_3(3x)

Ezzel pedig hasonló átalakítások után ez lesz:

6^(2/log_2(2x)) - 6^(1/log_2(3x)) - 2 = 0

De ebből se jön ki értelmes folytatás.

Ez megnyugtató :)

Kösz, hogy megírtad.