Hogy számolom ki az adott pontot és az érintőt?

x(t) = 2t-t²

y(t) = 3t-t³

A görbe érintőjének meredeksége dy/dx így számítható paraméteresen megadott görbéknél:

dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)

Most a t szerinti deriváltak:

dy/dt = 3-3t²

dx/dt = 2-2t

Az érintőnek párhuzamosnak kell lennie ezzel:

y = 3x + 1

Ennek a meredeksége dy/dx=3. Vagyis:

(3-3t²)/(2-2t) = 3

3-3t² = 6-6t

3t²-6t+3 = 0

t²-2t+1 = 0

(t-1)² = 0

Ennek csak t=1 a gyöke.

Vagyis az x(1)=2·1-1²=1 és y(1)=3·1-1³=2, tehát (1;2) pontban lesz párhuzamos az érintő az egyenessel.

Az egyenes egyenlete y=mx+b. A meredekség persze 3, b pedig abból jön ki, hogy az egyenes átmegy az (1;2) ponton:

y₀ = m·x₀ + b

2 = 3·1 + b

b = -1

Vagyis az érintő egyenlete y=3x-1