Mi lesz a határértéke a következő feladatoknak?

1-es: L'Hopital mindig használható, ha a tört 0/0 vagy végtelen/végtelen alakú.

Nekem is 4 jött ki.

Deriválás után be lehet helyettesíteni:

(-1/2+3/2):(1/4)=4

b)-t szerintem könnyebb deriválni, mint az a-t

ln (x^2) deriváltja 1/x^2 * 2x = 2/x

gyök(x) deriváltja 1/2gyök(x)

(2/x) : (1/2gyök(x)) = (2/x)*2gyök(x)= 4/gyök(x)

x tart a végtelenbe ez tart a 0-hoz.

2-es: Itt nem megy a L'hopital, valahogy ki kell trükközni.

a) részt pl így

gyök(3^n+2)-gyök(2^n-3)>gyök(3^n)-gyök(2^n-3)>

gyök(3^n)-gyök(2^(n+1))

1. lépésben kisebb számból vonok ki, azzal biztos, hogy csökken az értéke. 2. lépésben nagyobb számot vonok ki, így biztos, hogy csökken a kifejezés értéke.

Ez átírható

3^(n/2)-2^(n+1)/2=3^(n/2)-gyök(2)*2^(n/2)

3=3/2*2

(3/2*2)^(n/2)-gyök(2)*2^(n/2) 2^(n/2) kiemelhető

2^(n/2)*[1,5^(n/2)-gyök(2)]

végtelen*végtelen, ez bizony végtelenbe tart.

b) Na ezt nem látom hogy kéne.

2.b.

lim ⁿ√n · ⁿ√(n+1) = 1

ugyanis azt tudjuk, hogy ⁿ√n határértéke 1

(Az ⁿ√n határértéket általában nem kell bizonyítani, fel lehet használni, hogy 1.)

n+1-re pedig ugyanez jön ki rendőrelvvel:

ⁿ√n < ⁿ√(n+1) < ⁿ√(2n) = ⁿ√2·ⁿ√n → 1·1

Remélem érthető a rendőrelv is.