Hogyan kell megoldani az alábbi feladatot? Teljes indukciós bízonyítás.

Monoton növekedő:

x₀ = 0

x₁ = √(0+2) = √2 > x₀ valóban

Tehát i=1-re igaz, hogy xᵢ > xᵢ₋₁

Tegyük fel, hogy xᵢ = √(xᵢ₋₁ + 2) > xᵢ₋₁

Nézzük i+1-et, hogy xᵢ₊₁ nagyobb-e, mint xᵢ

xᵢ₊₁ = √(xᵢ + 2)

Mivel az indukciós feltevés miatt xᵢ > xᵢ₋₁, ezért

√(xᵢ + 2) > √(xᵢ₋₁ + 2) = xᵢ

Vagyis

xᵢ₊₁ > xᵢ

Kész.

(Valójában a szigorúan monoton növekedést is tudtuk bizonyítani)

A korlátosság:

i=0-ra igaz: 0 ≤ x₀ = 0 ≤ 2

Tegyük fel, hogy 0 ≤ xᵢ ≤ 2

Nézük xᵢ₊₁-et:

xᵢ₊₁ = √(xᵢ + 2)

Tudjuk, hogy xᵢ ≤ 2, ezért:

√(xᵢ + 2) ≤ √(2 + 2) = 2

Vagyis kijött, hogy

xᵢ₊₁ ≤ 2

Az, hogy 0 ≤ xᵢ₊ᵢ, az evidens, hisz a négyzetgyök ≥ 0