Matrix sajátérték, sajátvektor kiszámítása. Hogyan?

Az A mátrix sajátértéke λ és sajátvektora v akkor, ha:

A·v = λ·v

Behozva az I egységmátrixot:

A·v - λ·I·v = 0

(A-λ·I)·v = 0

Ennek az egyenletnek keressük a megoldásait. Persze olyan megoldást keresünk, ahol v nem nullvektor. Az pedig akkor létezik, ha az A-λI mátrix determinánsa nulla

(-λ 0 0)

(1 -λ 0)

(0 1 1-λ)

Ez háromszögmátrix, a determinánsa egyszerűen a főátló szorzata:

(-λ)²(1-λ) = 0

Az egyenlőség bal oldala a karakterisztikus polinom egyébként, mondjuk inkább λ²(1-λ) formában, vagy ha jobban tetszik, -λ³+λ².

A sajátértékek a fenti egyenlet gyökei:

λ₁ = λ₂ = 0

λ₃ = 1

Egyébként ha tudod azt, hogy a háromszögmátrix sajátértékei mindig a főátló elemei, akkor ez minden számolás nélkül is kijön. Bár most kérdés volt a karakterisztikus polinom is, úgyhogy nem spóroltál volna semmit.

A sajátvektorok egy adott λ értékhez az (A-λ·I)·v = 0 egyenlet megoldásából jönnek. (Vagyis A-λ·I nullterének vektorai, hisz azokat a vektorokat viszi a mátrix a nullvektorba)

a) λ=0:

(0 0 0) (vx)  (0)

(1 0 0)·(vy)=(0)

(0 1 1) (vz)  (0)

Vagyis: a második sor miatt vx=0,

a harmadik sor miatt pedig vy+vz=0, tehát vy = -vz = s.

Vagyis a λ=0-hoz tartozó összes sajátvektor:

(0, s, -s)

A 0-hoz tartozó sajátaltér tehát mondjuk a (0,1,-1) vektor által kifeszített altér.

b) λ=1

(-1 0 0) (vx)  (0)

(1 -1 0)·(vy)=(0)

(0 1  0) (vz)  (0)

Vagyis:

-1·vx = 0

1·vx - 1·vy = 0 → vx = vy

1·vy = 0

Tehát vx=vy=0, vz=s bármi lehet.

Vagyis a λ=1-hez tartozó összes sajátvektor:

(0, 0, s)

Az 1-hez tartozó sajátaltér tehát mondjuk a (0,0,1) vektor által kifeszített altér.

Diagonizálhatóság:

Az A mátrix diagonizálható, ha létezik B invertálható mátrix, amivel:

D = B⁻¹·A·B

és D diagonálmátrix.

Van egy olyan tétel, hogy akkor és csak akkor diagonizálható egy n×n-es mátrix, ha van n darab lineárisan független sajátvektora. (Ekkor B lenne a sajátvektorokból összrakott mátrix, D átlójában pedig pont a sajátértékek lennének.)

Most viszont csak 2 lineárisan független sajátvektor van, tehát a mátrix nem diagonizálható.