Határozza meg a A= (1. sor: 2,1,1,2. sor: 1,3,1,3. sor: 1,2,2) mátrix sajátértékeit és sajátvektorait! A sajátértékekre 4/3,4/3 és 1 jött ki. Ez jó eredmény? Ha igen, hogyan tovább?

Nem jó. Excelben van egy MDETERM függvény, azzal tudod ellenőrizni, hogy a sajátértékek stimmelnek-e.

Sajátérték: 1

SV: [-1, 0, 1]*s

Sajátérték: 3+gyök(3)

SV: [-1+gyök(3) , 1, -1]

Sajátérték: 3-gyök(3)

SV: [-1-gyök(3) , 1, -1]

Mi elemi bázistranszformációt tanultunk, abból miközben kijönnek a sajátértékek kijönnek a hozzá tartozó saját vektorok is.

Ha ti is így tanultátok, akkor el tudom magyarázni, egyébként nem hiszem.

Bizonyára úgy csináltad, hogy meghatároztad az A-λ·E mátrix (ahol E az egységmátrix) determinánsát, csak éppen elrontottál valamit. Nézd végig, mikor jöhetett be nálad a hiba:

A-λ·E =

(2-λ, 1, 1)

(1, 3-λ, 1)

(1, 2, 2-λ)

Ennek a determinánsa:

-λ³+7λ²-12λ+6

Ennek kell nullának lennie.

Látszik, hogy λ=1 gyöke az egyenletnek, vagyis szorzattá alakítva:

-(λ-1)(λ²-6λ+6) = 0

A másodfokú megoldóképlettel jön a 3±√3, amit Ifjutitan is írt.

A folytatás:

Mindhárom sajátértékkel meg kell oldani ezt az egyenletet:

(A-λ·E)·v = 0

Ha v=(x,y,z)-nek nevezem a sajátvektor elemeit, ez lesz az egyenletrendszer (simán kifejtem a mátrixszorzást)

(2-λ)x + 1y + 1z = 0

1x + (3-λ)y + 1z = 0

1x + 2y + (2-λ)z = 0

pl. λ=1 esetén:

x + y + z = 0

x + 2y + z = 0

x + 2y + z = 0

Az egyenletrendszert megoldhatod simán középiskolás módszerrel is, elég egyszerű, meg mondjuk Gauss eliminációval is, bizonyára tanultátok.

Ha már menni fog, akkor ki se fejted a mátrixszorzást ilyen x,y,z alakban, hanem csak a mátrixot írod fel kiegészítve a 0 vektorral, és csinálod a Gauss eliminációt.

Ennek az elsőnek (λ=1) nem lesz egyértelmű megoldása, mint ahogy Ifjutitan is írta, bejön egy s paraméter.