Egyenlőtlenségben segít valaki?

Legyen p(x)=x^3+ax^2+bx+c normált, harmadfokú polinom. Mint ismeretes, p-nek, lévén harmadfokú, vagy egy, vagy három valós gyöke van.

Először vizsgáljuk azt esetet, amikor p-nek három nem feltétlenül különböző, valós gyöke van, ekkor p(x)=(x-u)(x-v)(x-w) alakba írható. Feltehető, hogy v nem kisebb u-nál, de w legalább akkora, mint v. Ha x kisebb u-nál, p(x) a felírás szerint három negatív szám szorzata, így negatív. Ha x u és v közé esik, akkor egy pozitív és két negatív szám szorzata, ezért pozitív, ha v és w között van, akkor két pozitív és egy negatív szám szorzata, tehát negatív

és végül, de nem utolsó sorban, ha x nagyobb, mint w, akkor p(x) három pozitív szám szorzata, természetesen pozitív.

Ha p-nek csak egy valós gyöke van, akkor p(x)=(x-u)(x^2+dx+e) alakú, ahol a másodfokú tényező irreducibilis, így mindenhol pozitív. Így, ha x kisebb, mint u, akkor p(x) negatív, egyébként pedig nem az.

Hogy a polinomod irreducibilis faktorokra bontsd, javaslom Cardano-képletét. Ha szerencséd van, csak egy valós gyöke van.