Hogyan bizonyítom be, hogy az x^5-5x+2 függvénynek van három valós gyöke?

[link]

Ha analízis feladat, akkor kiindulhatunk abból, hogy ez a függvény egészen biztosan folytonos minden xeR esetén (és természetesen D(f)=R). A Bolzano-tétel szerint ha f(x) egy adott ]a;b[ intervallumon folytonos, monoton és hogy ha f(a)*f(b)<0, akkor létezik olyan ce]a;b], hogy f(c)=0 --> ez a zérushely, azaz a gyök. Tehát így első olvasatra találunk három ilyen intervallumot és c-t, akkor készen is vagyunk.

Például megfelelő a ]0;1[, mert f(0)=2 és f(1)=-2, azaz f(0)*f(1)=2*(-2)=-4. Az f'(x)=5*x^4-5, ami <0, ha xe]0;1[. Itt tehát biztosan van gyök.

Teljesen hasonlóan megfelelő az ]1;2[ is. Itt f(1)=-2 és f(2)=24, azaz f(1)*f(2)=-48, f'(x)>0, ha xe]1;2[.

Végül a harmadik ilyen az a ]-2;-1[ lesz. Azon el lehet gondolkodni, hogy van-e még ilyen intervallum. De meg lehet mutatni, hogy nincs, ehhez kellenek a függvény határértékei, valamint a monotonitás/szélsőérték.

De az is jó, ha simán a monotonitással/szélsőértékkel/határértékekkel indoklod meg: ezekről lásd a linket fent (Wolfram)