Egy szabályos háromszög oldala 2 cm-rel hosszabb, mint a magassága. Mekkora a terültete?

Hányadikos vagy?

Pithagorasz-tételből levezethető, hogy a szabályos háromszög oldala 'a', akkor amagasság m=gyök(3)/2*a

Vagyis

a=gyök(3)/2*a+2 /*2

2a=gyök(3)*a+4 /-gyök(3)*a

a*(2-gyök(3))=4

a=4/(2-gyök(3))

Szép irracionális szám.

T=a*m/2=gyök(3)/4*a^2

a^2 kiszámolása macerás lesz.

a^2=[4/(2-gyök(3))]^2=16/[4-4gyök(3)+3]=16/[7-4gyök(3)]

Ezt még illik gyökteleníteni.

Bővíteni kell a törtet 7+4gyök(3)-al, mert akkor a nevezőben alkalmazható az

(a-b)*(a+b)=a^2-b^2 azonosság

a^2=[16*(7+4gyök(3))]/[(7-4gyök(3))*(7+4gyök(3)]

A nevező ugye így jön ki:

(7-4gyök(3))*(7+4gyök(3))=49-48=1

a^2=16*(7+4gyök(3))/1=16*(7+4gyök(3))

Visszatérve a területre

T=gyök(3)/4*a^2

T=gyök(3)/4*16*(7+4gyök(3)) /4-el lehet egyszerűsíteni

T=4*gyök(3)*(7+4gyök(3))=4*(7*gyök(3)+12)=48+28*gyök(3)

ha nem számoltam el, de azért nézd át te is.

A szabályos háromszög magassága

m = a√3/2

A feltétel

m + 2 = a

ebből

m = a -2

A magasság képletébe behelyettesítve

a - 2 = a√3/2

a(1 - √3/2) = 2

a(2 - √3) = 4

a = 4/(2 - √3)

gyöktelenítve

a = 4(2 + √3)

A szabályos háromszög területe

T =a²√3/4

Behelyettesítve 'a' fenti értékét, műveletvégzés, összevonás után

T = 28√3 + 48

Remélem nem számoltam el. :-)

DeeDee

*******