Trigonometrikus egyenletek 11. osztály (emelt). Levezetitek nekem?

√2*cos2x=sinx+cosx

√2(cos²x-sin²x)=sinx+cosx

√2(cos²x-sin²x)-(sinx+cosx)=0

Emlékeztető: a²-b² = (a-b)(a+b)

√2[(cosx-sinx)*(sinx+cosx)]-(sinx+cosx)=0

(sinx+cosx)*[√2(cosx-sinx)-1]=0

Tudod, hogy egy szorzat értéke akkor nulla, ha valamely tényező nulla, így két esetet kell vizsgálni.

sinx+cosx=0

-sinx=cosx

-sinx/cosx =cosx/cosx

-tgx=1

tgx=-1

x=135°+k*180° (k eleme az egész számok halmazának)

A másik esetet rád bízom :)

Átgondoltam, és nem biztos, hogy vettétek még ezt a módszert, így leírom ezt is:

cosx-sinx=√2/2

D=√2

Kell az addíciós tételt használni [sin(X-y)=sinX*cosy-siny*cosX]

√2/2*cosx-√2/2*sinx=1/2

siny=√2/2 ===> X=45° (nagy X-et használok, ez nem eredmény)

sin(X-y)-ba behelyettesítessz: sin(45-y)=1/2=sin30

Újabb két eset:

45-y-30=k*360

-y=-15+k*360

y=15+k*360 (k eleme egész sz. h.)

45-y+30 = 180+k*360

75-y=180+k*360

-y=105+k*360

y=255+k*360

y értéke megegyezik x értékével ha visszahelyettesítünk.

A "három" megoldás x-re tehát:

135°+k*180°

15°+k*360°

255°+k*360°

Segítek a másik részben, ami tehát:

√2(cosx-sinx) = 1

Egyrészt lehet azt csinálni, hogy

cos x = ±√(1-sin²x)

amiből aztán átrendezve és négyzetre emelve lesz két másodfokú egyenlet sin x-re. Annak a végén ellenőrizni kell, hogy a megoldások jók-e, mert a négyzetreemelés behozhat hamis gyököket.

Ezt rád bízom, inkább valami mást mutatok.

----

Általánosságban nézzük ezt a kifejezést:

a·sin x + b·cos x

(most éppen a = −√2, b = √2)

Ez mindig átalakítható c·sin(x+α) alakba:

c·sin(x+α) = c(sinx·cosα + cosx·sinα)

= c·cosα·sin x + c·sinα·cos x

Vagyis:

a = c·cosα

b = c·sinα

Ebből két dolgot lehet kihozni:

- Ha elosztjuk a két egyenletet egymással: (persze a≠0)

tg α = b/a

amiből α kijön (hisz a és b ismert számok)

Most éppen b/a = −1, tehát α = −45°

- Ha négyzetre emelve összeadjuk őket:

a²+b² = c²(sin²α + cos²α) = c²

amiből c kijön:

c = ±√(a²+b²)

Most éppen c=±√(2+2) = ±2

Azt az előjelt kell választani, ami megegyezik 'a' előjelével, vagyis most c = −2

---

Szóval ezt volt:

−√2·sin x + √2·cos x = 1

És ezt kaptuk:

−2·sin(x−45°) = 1

sin(x-45°) = -√2/2

Ennek kétféle megoldása van:

x-45° = 60° + k·360°

x-45° = 120° + k·360°

Jaj, elrontotam avégét. Honnét jött oda nekem a gyök, nem tudom...

Szóval:

−2·sin(x−45°) = 1

sin(x−45°) = −1/2

A kétféle megoldás:

x−45° = −30° + k·360°

x−45° = −150° + k·360°

vagyis

x = 15° + k·360°

x = −105° + k·360°

Bocs még egyszer az elírásért.