Matematika, segítesz?

Teljes négyzeteket képzel a bal oldalon, ez nagyon adja magát:

x^2-y^2+2x-6y-25 = (x+1)^2-(y+3)^2-17

Két négyzetszám különbségét az a^2-b^2=(a+b)(a-b) azonosság szerint tovább tudod alakítani:

(x+1)^2-(y+3)^2-17 = (x+y+4)(x-y-2)-17

Ez egyenlő nullával az egyenlőség szerint, tehát átrendezve az eredeti egyenletedet:

(x+y+4)(x-y-2) = 17

Tehát a 17 két egész szám szorzata, és mivel a 17 prím, ez csak négyféleképp lehetséges: 17=1*17=17*1=(-1)*(-17)=(-17)*(-1).

Ezeket az eseteket egyenként nézd végig, innen sima.

Ez az eredeti egyenlet: x² - y² + 2x - 6y - 25 = 0

Rendezzük át kicsit: (x² + 2x) - (y² + 6y) - 25 = 0

Most jön egy trükk, amit érdemes megjegyezni: kell tudni hozzá fejből ezt a nevezetes szorzatot:

(x+a)² = x² + 2ax + a²

Ezt annyira kell tudni, hogy visszafelé is menjen. Vagyis ha látsz pl. ilyet:

x² + 2x + 1

akkor kapásból eszedbe jusson, hogy ez az x+1-nek a négyzete.

És most jön a trükk: Ha csak annyit látunk, hogy x²+2x, akkor is gyanút kell fogni, hogy ez hasonlít az (x+1)²-re. Nem pont ugyanaz, csak majdnem.

x²+2x+1 = (x+1)², ezért

x²+2x = (x+1)² - 1

Ugyanezt kell csinálni az y²+6y-nal is. Ez "hasonlít" az (y+3)²-re:

y² + 6y + 9 = (y+3)²

y² + 6y = (y+3)² - 9

Vagyis most ez az egyenletünk:

(x² + 2x) - (y² + 6y) - 25 = 0

((x+1)² - 1) - ((y+3)² - 9) - 25 = 0

(x+1)² - 1 - (y+3)² + 9 - 25 = 0

(x+1)² - (y+3)² - 17 = 0