Matek! Hogy kell elvégezni ezeket a feladatokat? -vegyes sorozat-
1.) Egy számtani sorozat első 5 tagjának összege 25.
Az 1., a 2. és az 5. tag, ebben a sorrendben egy mértani sorozat szomszédos tagjai.
Mennyi az a1, d és a q?
2.) Egy számtani sorozat első 5 tagjának összege 20.
A 2., 3. és az 5. tag, ebben a sorrendben egy mértani sorozat szomszédos tagjai.
Számtani sorozat első 5 tagja?
3.)3 szám összege 114.
Lehetnek egy mértani sorozat első 3 tagja, de egy számtani sorozat 1., 4. és 25. tagja is.
Melyek ezek a számok?
4.)Egy számtani sorozat első 3 tagjának összege 21.
Ha az elsőhöz 6-ot, a másodikhoz 13-at, a harmadikhoz 30-at adunk, egy mértani sorozat egymás utáni tagjait kapjuk.
Határozzuk meg a számtani sorozatot.
Nagyon köszönöm előre is!
válasza:Az 'a' a számtani, az 'm' a mértani sor tagjait jelöli
1.) feladat
S5 = 25 (Számtani)
a1 = m1
a2 = m2
a5 = m3
a1, a2, a3, a4, a5 = ?
Páratlan számú tagról lévén szó, a sorozat tagjai felírhatók a középső tag segítségével
a1 = a3 - 2d
a2 = a3 - d
a3 = a3
a4 = a3 + d
a5 = a3 + 2d
Az összegük
5*a3 = 25
amiből
a3 = 5
A mértani sor tagjai
m1 = a1 = a3 - 2d
m2 = a2 = a3 - d
m3 = a5 = a3 + 2d
A mértani sor tulajdonága miatt írható
(a3 - 2d)(a3 + 2d) = (a3 - d)²
A műveletek elvégzése és összevonás után marad
2*a3 = 5d
Az a3-t behelyettesítve
2*5 = 5d
ebből
d = 2
====
Ezzel a számtani sor tagjai
a1 = a3 - 2d = 5 - 4 = 1
a2 = a3 - d = 5 - 2 = 3
a3 = 5
a4 = a3 + d = 5 + 2 = 7
a5 = a3 + 2d = 5 + 4 = 9
==================
*********************************
A 2.) feladat ugyanez, csak más számokkal
*************************************
3.) feladat
Legyen a három szám: a, b, c
Az összegük
a + b + c = 114
Ha mértani sor
a = m1
b = m2
c = m3
Ha számtani
a = a1
b = a4
c = a25
Vagyis
m1 = a1
m2 = a4 = a1 + 3d
m3 = a25 = a1 + 24d
Az első feladatnál használt tulajdonság miatt
a1(a1 + 24d) = (a1 + 3d)²
A műveletek elvégzése és összevonás után
d = 2*a1
Ezzel felírva a számtani sor összegét
a1 + a4 + a25 = 114
a1 + (a1 + 3d) + (a1 + 24d) = 114
A 'd' értékét behelyettesítve
a1 + (a1 + 6*a1) + (a1 + 48*a1) = 114
Összevonás után
57*a1 = 114
így
a1 = 2
=====
Ezzel
d = 2*a1
d = 4
====
A keresett számok
m1 = a1 = 2
m2 = a4 = a1 + 3d = 2 + 3*4 = 14
m3 = a25 = a1 + 24d = 2 + 4*24 = 98
*********************************
4.) feladat
a1 + a2 + a3 = 21
m1 = a1 + 6
m2 = a2 + 13
m3 = a3 + 30
A középső taggal kifejezve a tagokat
a1 = a2 - d
a2 = a2
a3 = a2 + d
Az összegük
3*a2 = 21
ebből
a2 = 7
A mértani sor tagjai
m1 = a2 - d + 6 = 13 - d
m2 = a2 + 13 = 20
m3 = a2 + d + 30 = 37 + d
A fentebb már alkalmazott módszer szerint
(13 - d)(37 + d) = 400
A műveletek elvégzése, összevonás és rendezés után
d² + 24d - 81 = 0
A gyökök
d1 = 3
=====
d2 = -27
======
Így már felírhatók a sorok mindkét hányadossal, amit most a kérdezőre bízok. :-)
DeeDee
************
válasza:Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!