Határérték-számítás. Hogy lehetne kihozni ennek a kifejezésnek a határértékét? (feladat, kép lent)
lim n -> végtelen (((1+x^(1/n))/2)^n (x egy rögzített érték)
képen (mert így szerintem nem nagyon átlátható):
Már napok óta próbálkozom, szóba jött a Bernoulli-egyenlőtlenség (ebből annyi derült ki, hogy 0-nál nagyobb a határérték), próbálkoztam a binomiális tétel alkalmazásával, meg mindennel, de egyszerűen nem jutottam semmi értelmesre, egy kivételével:
számtani és mértani közepekkel (1-re és n-edix gyök x-re) kihoztam, hogy a hatvány értéke nagyobb vagy egyenlő, mint gyök(x).
Csaltam kicsit, beírtam Wolframba, ő kiadta, hogy a határérték gyök(x). Levezetni nem tudta, mert kiakadt, túl sok idő kellett volna neki. Szóval ha a kifejezést, vagy a határértéket meg tudnám szorítani felülről is egy gyök(x)-szel, akkor rendőrelvvel készen lennék... vagy nem lesz ilyen egyszerű dolgom? Mert egyelőre ezzel is szenvedek, nem tudom, hogy lehetne gyök(x)-et hozni felső korlátra.
Azzal is próbálkoztam, hogy akkor kihozom, hogy (1 + n-edik gyök x)^n = gyök(x) * 2^n, de ez sem jött össze... mert az oké, hogy a binomiális együtthatók összege 2^n, de nem tudom, hogy azt a gyök(x)-et hogy lehetne kivarázsolni...
Minden segítséget előre is köszönök!
válasza:Biztos van rá valami más, rendes megoldás is, de nekem csak ez jutott eszembe:
A számtani-mértani közepek között egyenlőség áll fenn akkor, ha a két szám azonos. Viszont lim ⁿ√x = 1, tehát azonos 1-gyel, ezért limeszben azonosság lesz a számtani-mértani között, így a megoldás tényleg √x.
... hmm... nem nagyon tetszik ...
Azon gondolkoztam, hogy egy k-adik hatványközepet csak egész k-ra lehet felírni? Mert ez a kifejezés lényegében egy 1/n-edik hatványközép (1-re és x-re), nem? Vagy ebből nem lehet kiindulni?
És ebben az esetben hova lehetne "illeszteni" a hatványközepek "egyenlőtlenségi sorában"?
válasza:Vegyük a kifejezés logaritmusát: n*log(1+x^{1/n})-n*log2.
Legyen f(α)=log(1+x^α), ennek a függvénynek az α=0-beli deriváltjának közelítő differenciahányadosai:
(log(1+x^{1/n})-log(1+x^0))/(1/n-0), ami éppen a mi vizsgált kifejezésünkkel egyezik meg.
log(1+x^α) deriváltja α szerint: 1/(1+x^α)*x^α*ln(x), ami α=0 helyen éppen 1/2*ln(x).
Visszaemelve mindezt az exponenciálisra, e^{1/2*ln(x)}=√x adódik.
Egy másik megoldási út lehetséges a logaritmus vétele után, hogy log((1+x^{1/n})/2)/(1/n) alakba írva a kifejezést alkalmazzuk a L'Hopital-szabályt az f(α)/g(α) hányadosra, ahol f(α)=log((1+x^α)/2), g(α)=α, megkapva ezzel a határértéket α=0-ban.
A hatványközepes megközelítés helyes észrevétel, pozitív x,y esetén H(α)=((x^α+y^α)/2)^{1/α} módon értelmezhetjük tetszőleges valós α-ra ezeket. Ekkor igaz az, hogy H(α) monoton növő függvénye α-nak, ráadásul α=0-ra éppen a mértani közepet adja, de ezt bebizonyítani hasonló technikát igényel, mint a fenti megoldások.
Pl. H(-1)=harmonikus, H(0)=mértani, H(1)=számtani, H(2)=négyzetes közepekre fennáll a jól ismert H(-1)<=H(0)<=H(1)<=H(2) egyenlőtlenség.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!