Matek. Valaki segítene?

1)

Ha jól értem, az első / jel függőleges vonal akar lenni, a második meg visszafelé dőlő ferde vonal (különbséghalmaz):

{x ∈ ℝ | x^2+2ax+b=0} \ {x ∈ ℝ | x^2+2bx+a=0} = ∅

Ez több módon is lehet:

a) Az első halmaz az üres halmaz, vagyis x^2+2ax+b=0-nak nincs megoldása.

Ekkor a diszkrimináns negatív: 4a²-4b < 0

vagyis b > a²

b) Az első egyenletnek 1 megoldása van, és ez a másodiknak is megoldása (a másodiknak lehet több is).

Ekkor az első diszkriminánsa nulla, vagyis a²=b.

A megoldás ekkor x=-2a/2 = -a

A második egyenletnek is megoldása ez, tehát a²-2ab+a=0

Mivel a²=b:

a²-2a·a²+a=0

a(-2a²+a+1)=0

Ennek gyökei a=0, a=1, a=-1/2

b persze egyenlő a²-tel.

c) Az első egyenletnek két gyöke van, és ezek gyökei a másodiknak is. Mivel az első tag azonos (x²), ezért ez csak úgy lehet, ha a többi is azonos, tehát ha a=b. Két gyök akkor van, ha b < a². Ez a=b > 1 esetén áll fenn.

(Persze a=b=1 valamint a=b < 1 is megoldások, de ezek már voltak az a) illetve b) esetekben.)

2)

Az első egyenletből rögtön adódik egy feltétel:

z ≥ 0

Az első egyenlet egy √z sugarú kör egyenlete. A második pedig egy egyenes egyenlete: y=(a-z)-x. Ez egy balra hajló 45 fokos egyenes, ami az y tengelyt (a-z)-ben metszi.

Akkor lesz 1 megoldása az egyenletrendszernek, ha az egyenes érinti a kört. Két pontban tudja érinteni:

P1 = (√z/√2; √z/√2)

P2 = (-√z/√2; -√z/√2)

Rajzold fel a kört és az egyenest (pontosabban 2 egyenest). A két esetben ezt lehet felírni Pitagorasz tételével. az OPT háromszögre, ahol O az origó, P az érintéspont (P1 vagy P2), T pedig az y tengely metszéspontja, vagyis a-z.

a) a-z > 0, a P1 pontban érinti a kört a 45 fokos egyenes. A derékszögű háromszög oldalhosszai √z, √z és a-z (az y tengely pozitív oldalán):

√z² + √z² = (a-z)²

2z = a² - 2az + z²

z² - 2(a+1)z + a² = 0

Ennek az egyenletnek is egyetlen megoldása kell legyen, vagyis a diszkriminánsa nulla:

4(a+1)²-4a² = 0

2a+1 = 0

a = -1/2

Le kell ellenőrizni, hogy pozitív-e a z:

z = 2(a+1)/2 = a+1 = 1/2, idáig rendben.

Le kell ellenőrizni az (a-z)>0 feltételt is:

a-z = -1/2 - 1/2 = -1, ez nem jó, tehát ez nem megoldás.

b) a-z < 0, a P2 pontban érinti a kört a 45 fokos egyenes. A derékszögű háromszög oldalhosszai √z, √z és z-a (az y tengely negatív oldalán):

√z² + √z² = (z-a)²

Ez pont ugyanaz az egyenlet, mint az előbb, persze a megoldása is ugyanaz lesz: a=-1/2. Most a feltételek is teljesülnek, hisz a-z < 0.

Vagyis a=-1/2 az egyetlen jó megoldás.