Matek feladat lent?

A válaszoló a 250 fokot osztotta fel 1:3 arányban, nem a béta szöget!

Azt hiszem, a képen látható megoldás helyes:

[link]

Adott

S = α + ß

ß1/ß3 = 1/3

α, ß = ?

Rémlett, hogy volt már hasonló feladat, ezért megkerestem a gyűjteményben. Csak abban különbözött ettől a feladattól, hogy a szögek aránya 1:2 volt 1:3 helyett és két megoldás adódott.

Azonnal felmerült a kérdés, hogy egyező szögösszeg, de eltérő szögarány esetén miért van az egyik feladatnak kettő, a másiknak meg csak egy megoldása. Mitől függ a megoldások száma? Mikor van egyáltalán megoldása az ilyen feladatoknak?

Az általánosított válasz a

[link]

linken található rajzon látható. A levezetés részletezése a lent következő szövegben található.

A megadott arány szerint felosztott ß szög részei

Van két egyenletünk

ß1/ß2 = q

ß1 + ß2 = ß

Az elsőből

ß1 = q*ß2

Behelyettesítve a másodikba

q*ß2 + ß2 = ß

ß2(q + 1) = ß

ß2 = ß/(q + 1)

Az elsőből

ß1 = q*ß2

ß1 = q*ß(q + 1)

Az ábra alapján a két esetben az α szög meghatározása a következő egyenletrendszerekből lehetséges

1. eset

α + ß = S

180 - α = ß1

180 - α = q*ß/(q + 1)

mivel ß = S - α

(q + 1)(180 - α) = q(S - α)

ebből

α = 180 - q(S - 180)

***********************

Mivel α nem lehet negatív, írható

180 - q(S - α) >= 0

180 >= q(S - 180)

és

180/(S - 180) >= q

*********************

2. eset

α + ß = S

180 - α = ß2

180 - α = ß/(q + 1)

ß = S - α

(q + 1)(180 - α) = S - α

ezekből

α = 180 - (S - 180)/q

Az 1. eset mintájára

180 - (S - 180)/q >= 0

180 >= (S - 180)/q

q*180 >= S - 180

és

q >= (S - 180)/180

**********************

A két eset tartományát összekapcsolva kapjuk

180/(S - 180) >= q >= (S - 180)/180

==========================

vagyis csak ebbe az intervallumba eső szögarány esetén van megoldása a feladatnak.

Látható, hogy ez az intervalluma csak a két szög összegétől függ és csak S > 180 esetén értelmezhető a feladat.

S = 250 esetén

180/(250 - 180) >= q >= (250 - 180)/180

18/7 b>= q >= 7/18

tartományban levő q esetén lehet 2 megoldás.

Mivel a példában

q = 1/3

2,571. >= 0,333. feltétel teljesül, a

0,333. >= 0,388. viszont nem, ezért van csak egy megoldása a feladatnak.

Ez pedig az

α = 180 - q(S - 180) képletből

α = 180 - (1/3)(250 - 180)

α = 180 - 70/3

α = 470/3

α = 156,666.

=========

ß = 250 - α

ß = 250 - 156,666.

ß = 93,333

=========

DeeDee

*******