Egy mértani sorozat harmadik tagja 36-tal nagyobb a másodiknál. E két tag szorzata -243. Mi az első két tag?

Ugyebár:

a3 = a2 + 36

a2*a3 = -243

Írjuk át a3-t, és a2-t a kvociens és a1 függvényében.

a1*q^2 = a1^q + 36

a1^2*q^3 = -243

Elsőből kifejezzük a1-t.

a1*q^2 = a1^q + 36

a1*q^2 - a1^q = 36

a1*q*(q-1) = 36

a1 = 36/[(q-1)*q]

Helyettesítsünk be a másodikba.

a1^2*q^3 = -243

36^2*q^3/[(q-1)^2*q^2] = -243

36^2*q/(q-1)^2 = -243

Szorozunk fel (q-1)^2-vel és rendezzük egy oldalra.

-234q^2 + 486q + -243 + 1539q = 0

Egyserűsít -1*3^4-vel

3q^2 + 10q + 3 = 0

Megoldóképlet: q= -3 vagy -1/3

Ebbe behelyettesítve:

a1 = 36/[(q-1)*q]

a1 = (-3 esetén) 3

a1 = (-1/3 esetén) 81

Tehát vagy

3, -9, 27 (q=-3)vagy

81, -27, 9 (q=-1/3) a megoldás.

Nomen est omen. :-)

A sorozat tagjai: m1, m2, m3, ...

A feladat szerint

m3 = m2 + 36

m2*m3 = -243

Az elsőt behelyettesítve a másodikba

m2(m2 + 36) = -243

A műveletek elvégzése és összevonás után

m2² + 36*m2 + 243 = 0

A gyökök

m21 = (-36 + 18)/2

m21 = -9

m22 = (-36 - 18)/2

m22 = -27

Ezekkel

m31 = -9 + 36

m31 = 27

m32 = -27 + 36

m32 = 9

A hányadosok

q1 = m31/m21 = 27/(-9)

q1 = -3

q2 = m32/m22 = 9/(-27)

q2 = -1/3

Az első tagok

m11 = m21/q1 = (-9)/(-3)

m11 = 3

m12 = m22/q2 = (-27)/(-1/3)

m12 = 81