Mennyi az x^5-2^3+2x+2 polinom gyökeinek köbösszege?

"-2^3"

itt kimaradt egy x szerintem

-x^3 VAGY -2x^3 ?

Elég macerás.

Kezdjük egy kis elméleti bevezetővel.

Ha van egy

ax^2+bx+c polinom, akkor a Viete-formulákat így lehet levezetni:

a*(x-x1)*(x-x2), ahol x1 és x2 a gyökök, majd ezt kibontva:

a*x^2-a*x(x1+x2)+a*x1*x2

Vagyis -a*(x1+x2)=b [x együtthatója kétféleképpen felírva]

-->x1+x2=-b/a

És a*x1*x2=c-->x1*x2=c/a

Most nekünk az ötödfokú polinom Viete-formulái kellenek.

(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5) -öt kell kibontani.

[a-t most lehagytam, mert a te polinomodban is a=1]

De mielőtt megtennénk, nézzük meg hogy kéne a köbösszeget előállítani, általában így szokás:

(x1+x2+x3+x4+x5)^3=[x1^3+x2^3+x3^3+x4^3+x5^3]+3*[azok a tagok, amikben valamelyik elem négyzeten szerepel: 20 elem van] + 6*[azok a tagok, ahol egyik tag sincs négyzeten: 10 elem van itt] (*)

3-as szorzó abból jön, hogy x1^2*x2 összejöhet úgy, hogy

x1*x1*x2 vagy x1*x2*x1 vagy x2*x1*x1

Ugyanígy a 6-os.

Ez remélem, világos.

Vagyis kéne nekünk x1+x2+x3+x4+x5

Na akkor most nyúljunk vissza ehhez:

(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5)

Ha gondolatban kibontjuk, akkor

x^5-x^4*(x1+x2+x3+x4+x5)+stb

x1,...,x5-öt hívjuk egyszerűen számnak.

Ugye ha 5db x-et veszek ki felbontáskor, akkor számot már nem tudok.

Ha 4db x-et, akkor 1-1 számot teszek mellé.

3db x-nél 2-2számot stb.

Vagyis x1+x2+x3+x4+x5 az x^4 együtthatója, ami 0.

Ezen kívül kéne még a [azok a tagok, ahol egyik tag sincs négyzeten: 10 elem van itt]

Ezek ilyenek:

x1*x2*x3+...+x3*x4*x5

Az x^2-es tagokban kell keresni.

Megint ha ezt gondolatban kibontom: (x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5)

...-x^2*(x1*x2*x3+...+x3*x4*x5)+...

Megint szerencse, hogy a polinomban x^2 együtthatója is 0.

Vagyis a (*)-ból ez maradt:

0^3=[x1^3+x2^3+x3^3+x4^3+x5^3]+3*[azok a tagok, amikben valamelyik elem négyzeten szerepel: 20 elem van] + 6*0

0=[x1^3+x2^3+x3^3+x4^3+x5^3]+3*[azok a tagok, amikben valamelyik elem négyzeten szerepel: 20 elem van]

Még a négyzetes tagokat össze kell hozni valahogy, és akkor kijön a kérdésre a válasz.

Kifejtve:

x1^2*(x2+x3+x4+x5)+x2^2*(x1+x3+x4+x5)+x3^2*(x1+x1+x4+x5)+x1^4*(x1+x2+x3+x5)+x1^5*(x1+x2+x3+x4)

És persze az egéász előtt ott egy 3-as szorzó.

Adjuk hozzá mindkét oldalhoz 3*[x1^3+x2^3+x3^3+x4^3+x5^3]-->ekkor ez a felső kifejezés

(x1+x2+x3+x4+x5)*[x1^2+...+x5^2] alakot ölti.

2*[x1^3+x2^3+x3^3+x4^3+x5^3]=3*(x1+x2+x3+x4+x5)*[x1^2+...+x5^2]

x1+...+x5=0, vagyis

[x1^3+x2^3+x3^3+x4^3+x5^3]=0

A végeredmény 0, aminek annyira nem örülök.

Az világos, hogy minden komplex gyöknek van egy konjugált párja, és ott az imaginárius részek kiesnek. Így jön ki valósra a vége.

De a gondom az, hogyha a valós számok között nézzük ezt, és csak a valós megoldásokat adjuk össze, akkor nem vagyok benne biztos, hogy az is 0-ra jön ki.

Pedig az lenne a megnyugtató.

Remélem többé-kevésbé érthető a dolog.

Ilyen feladatokat én mindig úgy láttam megoldva, hogy

(x1+...+xk)^n kibontva, aztán Viete formulával kiszámolva a különböző tagok. És onnan kijön az, ami nekünk kell.