Igaz-e, hogy x>=2 esetén az s (x) = ( (x+gyök (x^2-4) ) /2) ^gyök (2) + ( (x-gyök (x^2-4) ) /2) ^gyök (2) függvény által meghatározott p (x) = s (s (x) ) összetett függvény egy egész együtthatós polinom?

Amit írtál, én úgy értettem, mint ami itt jobban látszik:

[link]

Biztos, hogy ez a függvény? Ennél s(s(2)) értéke nem is egész szám (hanem 22,6865...)

Remélem, nem rontottam el. Itt számoltam ki s(s(2)) értékét:

[link]

A közelítő értéket megkapod, ha ráklikkelsz az "Approximate form" gombra.

Tényleg, bocs, elnéztem.

Azt hiszem nem jó, amit csináltam, de elküldöm, ha már annyit dolgoztam vele, hátha segít valamit:

Taylor sor x=2 körül:

Behelyettesítési érték:

Az gyorsan kijön, hogy s(2) = 2

tehát p(2) = s(s(2)) = s(2) = 2 szintén.

Első derivált az összetett függvény deriválási szabálya szerint:

p'(x) = s'(s(x))·s'(x)

s'(x) levezetése:

s(x) = q(x)+r(x)

ahol q(x) = ((x + √(x²-4))/2)^√2

r(x) ugyanez minusszal.

q'(x) = √2·((x + √(x²-4))/2)^(√2-1)·1/2·(1+2x/(2√(x²-4)))

q'(x) = √2·((x+√(x²-4))/2)^(√2-1)·((√(x²-4)+x)/2/(√(x²-4)))

q'(x) = √2·((x+√(x²-4))/2)^√2/√(x²-4) = √2·q(x)/√(x²-4)

hasonlóképpen

r'(x) = -√2·((x-√(x²-4))/2)^√2/√(x²-4) = -√2·r(x)/√(x²-4)

s'(x) = q'(x)+r'(x) = √2·(q(x)-r(x))/√(x²-4)

x=2 esetén s'(x) 0/0 alakú, határértéke L'Hospital-lal:

√2·(q'(x)-r'(x))·√(x²-4)/x = 2·s(x)/x = 2

lim p'(x) pedig x->2 esetén ez lesz:

lim p'(x) = lim s'(s(x))·s'(x) =

= 2s(s(x))/s(x) · 2s(x)/x = 4p(x)/x

ebből

p'(2) = 4

Második derivált (szintén x->2 határértékben)

p''(x) = (4p(x)/x)' = (4p'(x)·x - 4p(x))/x²

= (4·4p(x)/x·x - 4p(x))/x² = 12p(x)/x²

p''(2) = 6

p'''(x) = (12p'(x)·x² - 12p(x)·2x)/x^4

= (12·4p(x)/x·x² - 12p(x)·2x)/x^4

= 24p(x)/x³

p'''(2) = 6

Szóval a Taylor sor eddig ilyenre jött ki:

2 + 4(x-2) + 6(x-2)²/2! + 6(x-2)³/3! + ...

Valamit elronthattam, mert a WolframAlpha szerint a Taylor sor 2 körül ilyen:

2 + 2(x-2) + 1/6·(x-2)² - 1/90·(x-2)³ + ...

Mindenesetre nem az jött ki ott se, hogy x²-2 ...

Viszont ha a WolframAlpha-s Taylor sorba behelyettesítem az x=3-at, kb. 4,15 jön ki, pedig ha az eredeti függvénybe, akkor 7, ami tényleg x²-2.

Szóval nem tudom, mi van...