Integrálás, hogyan kell polinomokat osztani?

Nem kell ide polinomosztás, csak szét kell bontani a törtet két olyan részre, amit tudsz integrálni. És persze előny, ha a nevező szerepel benne.

x³-t felírhatod így: x³ = x ∙ (x² + 1) – x

[Megjegyzés: ha ezt szorzattá akarod alakítani x kiemelésével, akkor azt kapod, hogy x ∙ (x² + 1 – 1) = x³, ha gyorsan akarsz ellenőrizni.]

Tehát most ez a törted:

[x ∙ (x² + 1) – x] / (x² + 1)

Ezt szétszedheted így:

x ∙ (x² + 1) / (x² + 1) - x / (x² + 1)

Az első tagnál egyszerűsíthetsz (x² + 1)-gyel, így végeredményként ezt kapod:

x - x / (x² + 1)

Tehát amit el kell végezni:

∫ x - x / (x² + 1) dx = ∫ x dx - ∫ x / (x² + 1) dx

Tudjuk, hogy ∫ x dx = x²/2 + C

∫ x / (x² + 1) dx-nél pedig kicsit trükközni kell, ugyanis voltaképpen meg van szorozva a deriváltjával, ha alakítunk rajta egy kicsit:

∫ x / (x² + 1) dx = ½ ∙ ∫ 2x / (x² + 1) dx = 1/2 ∙ ln(x² + 1) + C

Végeredményben: ∫ x³ dx = x²/2 – ln(x² + 1)/2 + C = ½ ∙ [x² - ln(x² + 1)] + C

x3(x köb) x a négyzeten/2

tudtommal ez az integráltja....

x4+1 vagyis (x négyzet)+1 = x3/3 vagyis xköbön/3+0...mert 1nek az integráltja 0.

Ha jól emlékszem.