Polinomok osztása. Hogy van ez?

Nem írtad el véletlenül:

"-a^x-4 " Nem -ax-4 van ott?

f(x) = x^3+ax^2-ax-4

x^3-ax^2-ax+4 = (x^2 - 2)*(x) +ax^2 +(2-a)x-4 =

(x^2 -2)(x+a) + (2-a)x -4+2a

ahhoz hogy ez teljes szorzat legyen

2-a=0

es -4+2a=0 kell, hogy legyen,

vagyis a = 2.

Tegyuk fel, hogy van egy p/q alaku racionalis gyoke a polinomnak, ahol a legnagyobb kozos osztojuk (p,q)=1

(p/q)^3 +a(p/q)^2 -a(p/q) - 4 = 0

szorozva q^3-bel:

p^3 + ap^2q - apq^2 -4q^3 = 0

p^3 = -ap^2q +apq^2 +4q^3

a jobboldal oszthato q-val, tehat a bal is,

de (p,q)=1 volt,

ezert |q|=1 lehet csak.

p^3 + ap^2q - apq^2 = 4q^3

a baloldal oszthato p-vel, ezert a jobb is, de (p,q)=1 volt,

ezert p-vel oszthato 4

p=(-4,-2,-1,1,2,4) lehetseges.

vagyis a polinomnak lesz egy

(x+4)

(x+2)

(x+1)

(x-1)

(x-2) vagy

(x-4) alaku tenyezoje ha szorzatta bontjuk.

Ez azt is jelenti, hogy ha ezeket a szamokat behelyettesitjuk, akkor 0-t kell kapnunk.

x=-4: -64 + 16a +4a -4 = 0 vagyis a=68/20=17/5

x=-2: -8+4a+2a-4 = 0 vagyis a = 2

x=-1: -1+a+a-4 = 0 vagyis a = 5/2

x=1: 1+a-a-4=0 vagyis nincs megoldas

x=2: 8+4a-2a-4 = 0 vagyis a = -2

x=4: 64+16a -4a -4 = 0 vagyis a = -5

Tehat a az -5, -2, 5/2, 2, vagy 17/5 lehet.