Mi a megoldása ennek a példának? én sajnos még segítséggel sem jöttem rá:S

Folytatom ott, ahol „Villanykörte“ abbahagyta:

1.) Behelyettesítés:

w = –4*x*y + y*z + x*z, x = st, y = e^(st), z = t²

w = –4*(st)*(e^(st)) + (e^(st))*(t²) + (st)*(t²), csak a szemléletesség kedvéért írtam ilyen „furcsán“, hogy érthető legyen a behelyettesítés fogalma

w = –4*s*t*e^(st) + e^(st)*t² + s*t*t² = –4*s*t*e^(st) + t²*e^(st) + s*t³

2.) Parciális deriválás:

∂w/∂s = ∂(–4*s*t*e^(st) + t²*e^(st) + s*t³)/∂s = [∂(–4*s*t*e^(st))/ ∂s] + [∂(t²*e^(st))/∂s] + [∂(s*t³)/∂s]

∂w/∂s = [–4*t*e^(st) + (–4*s*t*e^(st)*t))] + [t²*e^(st)*t] + [t³]

∂w/∂s = [–4*t*e^(st) + (–4*s*t²*e^(st))] + [t³*e^(st)] + [t³]

A parciális deriválásnál csak azt a változót tekintjük változónak, amelyik szerint éppen deriválunk (ebben az esetben ez az „s“), a többi változót közben állandónak (konstansnak) tekintjük (ebben az esetben ez a „t“) ugyanúgy, mint a többi állandót (a szögletes zárójelek csak segédeszközök)

3.) Behelyettesítés számokkal (s = 2, t = –5):

∂w/∂s = [–4*t*e^(st) + (–4*s*t²*e^(st))] + [t³*e^(st)] + [t³]

∂w/∂s(s,–5) = [–4*(–5)*e^(s(–5)) + (–4*s*(–5)²*e^(s(–5)))] + [(–5)³*e^(s(–5))] + [(–5)³]

∂w/∂s(2,t) = [–4*t*e^(2t) + (–4*2*t²*e^(2t))] + [t³*e^(2t)] + [t³]

∂w/∂s(2,–5) = [–4*(–5)*e^(2(–5)) + (–4*2*(–5)²*e^(2(–5)))] + [(–5)³*e^(2(–5))] + [(–5)³]

∂w/∂s(2,–5) = [20*e^(–10) + (–200*e^(–10))] + [(–5)³*e^(–10)] + [(–5)³]

∂w/∂s(2,–5) = 20*e^(–10) – 200*e^(–10) – 125*e^(–10) – 125

A ∂w/∂t(2,–5) kiszámítása ugyanezzel a módszerrel történik, azzal a különbséggel, hogy most az „s“ lesz a „konstans“ és a „t“ lesz a változó.

Ha nem sikerülne a ∂w/∂t(2,–5) kiszámítása, szólj.

Akkor jöjjön a ∂w/∂t(2,–5):

w = –4*s*t*e^(st) + t²*e^(st) + s*t³

Parciális deriválás:

∂w/∂t = ∂(–4*s*t*e^(st) + t²*e^(st) + s*t³)/∂t

∂w/∂t = –4*s*e^(st) – 4*s*t*e^(st) *s + 2*t*e^(st) + t²*e^(st)*s + 3*s*t²

∂w/∂t = –4*s*e^(st) – 4*s²*t*e^(st) + 2*t*e^(st) + s*t²*e^(st) + 3*s*t²

Behelyettesítés számokkal (s = 2, t = –5):

∂w/∂t(2,t) = –4*2*e^(2t) – 4*2²*t*e^(2t) + 2*t*e^(2t) + 2*t²*e^(2t) + 3*2*t²

∂w/∂t(s,–5) = –4*s*e^(s(–5)) – 4*s²*(–5)*e^(s(–5)) + 2*(–5)*e^(s(–5)) + s*(–5)²*e^(s(–5)) + 3*s*(–5)²

∂w/∂t(2,–5) = –4*2*e^(2*(–5)) – 4*2²*(–5)*e^(2*(–5)) + 2*(–5)*e^(2*(–5)) + 2*(–5)²*e^(2* (–5)) + 3*2*(–5)²

∂w/∂t(2,–5) = –8*e^(–10) + 80*e^(–10) – 10*e^(–10) + 50*e^(–10) + 150

∂w/∂t(2,–5) = 112*e^(–10) + 150

[link]

Még az elsőhöz:

∂w/∂s(2,–5) = 20*e^(–10) – 200*e^(–10) – 125*e^(–10) – 125

∂w/∂s(2,–5) = –305*e^(–10) – 125

[link]

Vegyünk egy ilyen példát:

w = x²*y³, x = t⁷, y = t⁵, t = 2

dw/dt(2) = ?

A. módszer:

1.) Behelyettesítés:

w = x²*y³ = (t⁷)²*(t⁵)³ = t¹⁴*t¹⁵ = t²⁹

2.) Deriválás:

dw/dt = dt²⁹/dt = 29*t²⁸

3.) Behelyettesítés számokkal:

dw/dt(2) = 29*2²⁸ = 29*268 435 456 = 7 784 628 224

B. módszer:

1. Deriválás:

dw/dt = ∂w/∂x*dx/dt + ∂w/∂y*dy/dt

dw/dt = ∂x²*y³/∂x*dx/dt + ∂x²*y³/∂y*dy/dt

dw/dt = 2*x*y³*dx/dt + x²*3*y²*dy/dt

2.) Behelyettesítés (x = t⁷, y = t⁵):

dw/dt = 2*x*y³*dx/dt + x²*3*y²*dy/dt

dw/dt = 2*t⁷*(t⁵)³*dt⁷/dt + (t⁷)²*3*(t⁵)²*dt⁵/dt

dw/dt = 2*t⁷*t¹⁵*dt⁷/dt + t¹⁴*3*t¹⁰*dt⁵/dt

dw/dt = 2*t²²*dt⁷/dt + 3*t²⁴*dt⁵/dt

dw/dt = 2*t²²*7*t⁶ + 3*t²⁴*5*t⁴

dw/dt = 14*t²²*t⁶ + 15*t²⁴*t⁴

dw/dt = 14*t²⁸ + 15*t²⁸ = 29*t²⁸

3.) Behelyettesítés számokkal:

dw/dt(2) = 29*2²⁸ = 29*268 435 456 = 7 784 628 224