Mi a megoldás erre a többváltozós függvényű matekpéldára?

1. feladat megoldására használhatónak tűnik a kétváltozós függvényekre vonatkozó Taylor-formula:

f(x+h,y+k)=f(x,y)+h*f'(x)(x,y)+k*f'(y)(x,y)+...

x=-3, y=-4, h=x, k=y helyettesítéssel élve, kapjuk a

f(x-3,y-4)=0+2x+5y becslést. Amiből x=1 és y=1 helyettesítést használva f(-2,-3)=7.

A 2. feladat nem tűnt nagyon egyértelműnek. Szerintem r helyett x és s helyett y lenne alkalmas a feladat megoldására. Ebben az esetben a megoldások w'(x)(x,y,t)=9x/w(x,y,t);

w'(y)(x,y,t)=9y/w(x,y,t); w'(t)(x,y,t)=5t/w(x,y,t) adódnának. (Még gondolkozom rajta, mert a gömbkoordinátás változat is elképzelhető, akkor nyilván más lesz a megoldás)

Sz. Gy.

Számomra elég szokatlan jelölés a gömbi koordinátákat <r,s,t>-vel jelölni, egy gyakran alkalmazott szimbólumhármas az <r, fi, theta> . Lehet, hogy fi-nek az s, és a theta-nak a t felelne meg? Ekkor r^2=x^2+y^2+z^2;

s=arc tg(y/x) ; t=arc tg(gyök(x^2+y^2)/z).

Folytatva az átalakítást a z=gyök(x^2+y^2)/tg(t) felhasználva adódik

w(x,y,t)=gyök(

A megoldás folytatása: w(x,y,t)=gyök(9·SIN(t)^2·Arc tg(y/x)^2 + 5·t^2·SIN(t)^2 + 9·(x^2 + y^2))/SIN(t). Ennek a háromváltozós függvénynek kell venni a parciális deriváltjait!

w'(x)(x,y,t)=(9·(x·(x^2 + y^2) - y·SIN(t)^2·Arctg(y/x)))/((x^2+y^2)sin(t)*w(x,y,t))

w'(y)(x,y,t)=(9·(x·(x^2 + y^2) - y·SIN(t)^2·Arctg(y/x)))/((x^2+y^2)sin(t)*w(x,y,t))

Megoldás folytatása. (Az előző oldalon az y szerinti természetesen hibás)

Az y szerinti:

w'(y)(x,y,t)=9·(x·SIN(t)^2·ATAN(y/x) + y·(x^2 + y^2))/((x^2+y^2)sin(t)*w(x,y,t))

A t szerinti:

w'(t)(x,y,t)=(5·t·SIN(t)^3 - 9·(x^2 + y^2)·COS(t))/(sin(t)^2*w(x,y,t)).

Még elképzelhető az a megközelítés is, hogy w nem függ sem x-től, sem y-tól, tehát

w'(x)(r,s,t)=0, w'(y)(r,s,t)=0 és

w'(t)(r,s,t)=5t/w(r,s,t).

Ha viszont függ x-től és y-tól is, az ilyen feladatoknál meg szokás adni a helyettesítést is! Sz. Gy.