Egy bálon 20 nyereményt sorsolnak ki az eladott 500 tombola vásárlói között. -Ha 3tombolát vettünk, akkor mi a valószínűsége, hogy nyereménnyel térünk haza? -A 3tombolánkkal várhatóan hány nyereményre számíthatunk?

a) Számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy NEM nyerünk semmit:

Összes eset: (500 alatt 20) módon húzhatják ki a 20 nyereményt

Kedvező eset: (497 alatt 20) módon húzhatják ki úgy, hogy ne legyen benne a mi 3 szelvényünk.

p = (497 alatt 20)/(500 alatt 20)

Annak esélye, hogy nyerünk:

1-p = 1 - (497 alatt 20)/(500 alatt 20)

b)

Ez visszatevés nélküli mintavétel, vagyis hipergeometrikus eloszlás. Annak a várható értéke pedig n·M/N, ami most:

E = 3·20/500 = 0,12

Várhatóan 0,12 nyereményünk lesz.

Akkor nem nyerünk, ha a másik 497 darabból választanak ki 20 tombolát, vagyis (497 alatt a 20)/(500 alatt a 20) eséllyel nem nyerünk. Ha ezt kivonjuk 1-ből, akkor kijön, hogy mennyi az esélye, hogy nyereménnyel megyünk haza.

11,55%, hogy nyerünk valamit. (Meglepően magas, nem?)

A várható értékhez tudni kell mennyi az esélye, hogy 1-et, 2-őt 3 ajándékot nyerünk

1 ajándék:

(3 alatt az 1)*(497 alatt a 19)/(500 alatt a 20)

11,1%

2 ajándék

(3 alatt az 2)*(497 alatt a 18)/(500 alatt a 20)

0,44%

3 ajándék

(3 alatt az 3)*(497 alatt a 17)/(500 alatt a 20)

0,0055%

A várható érték:

1*0,111+2*0,0044+3*0,000055=0,12

A kérdés második felére született két különböző válasz is, mondok egy harmadikat (leginkább arra az esetre, ha nem tanultátok a hipergeometrikus eloszlást):

Ha csak egyetlen egy tombolát veszel, akkor a nyeremény várható értéke nagyon egyszerű: 20/500 vagyis 0,04.

Most tegyük fel, hogy két barátod is vesz 1-1 tombolát. Ők is az 1 tombolájukkal 0,04 darab nyereményre számíthatnak. Hárman együtt tehát 3·0,04 = 0,12 darab nyereményt várhattok.