Matematika 10. osztály?

Megpróbáltam érthetően leírni, lerajzolni:

[link]

Ha valami nem világos, szólj!

Rajzolj fel egy ilyen ABCD trapézt. Az alap legyen az AB oldal. Ez a hosszabbik alap kell legyen, a másik alap (CD) Thalesz köre ugyanis nem metszi a szárakat.

AB és CD távolsága (vagyis a trapéz magassága, m) AB/2 kell legyen (ami a sugár), mert érinti a kör CD-t.

AD felezőpontja legyen F. Itt metszi a Thalesz kör ezt a szárat, vagyis az AFB szög derékszög. Mivel derékszög, és AF egyenlő FD, ezért FB tükörtengelye kell legyen az ABD háromszögnek, ami tehát egyenlőszárú háromszög: AB=DB.

Az A csúcs melletti szöget (DAB szög) nevezzük α-nak. ADB szintén α, ABD pedig 180°-2α.

Az ABD háromszög AB-hez tartozó magassága éppen megegyezik a trapéz magasságával, m-mel. Felírhatjuk ezt a trigonometriai azonosságot:

m/DB = sin(180°-2α)

Mivel DB=AB, és tudjuk, hogy m=AB/2, ezért:

sin(180°-2α) = 1/2

180°-2α = 30°

2α = 150°

α = 75°

A trapéz másik szöge persze 180°-75°=105°

17:20-as leelőzött :) A két megoldás máson alapul, válogathatsz is :)

Az első megoldás legvégén van egy pici hiba: β=105° kellene legyen, nem pedig 125°; úgy már 200° lenne α+β.

Érdekes feladat, szép megoldásokkal.

Kiegészítésként néhány egyéb adata ennek az érdekes idomnak.

Legyen

a - a hosszabbik alap

b - a rövidebb alap

c - a szár

e, f - a két átló

T - a területe

A két alap aránya

b/a = √3 - 1

A rövidebb alap és a szár aránya

b/c = √2

Az átlók hossza

e = f = a

vagyis az átlók a hosszabbik alappal egyenlők (az ABD háromszög egy egyenlő szárú háromszög)

A trapéz területe

T = (a²√3)/2

vagyis a területe egy 'a' oldalú egyenlő oldalú háromszög területével egyenlő.

Talán jó lesz valamikor valakinek ez a pár adat. :-)

DeeDee

*************