Valaki meg tudja ezt oldani?

remélem tudtam segíteni

[link]

Az első válaszban a kép azt hiszem nem jó. Ha jól értem, erről a függvényről van szó:

f(x) = | (|x|-1) / (|x|-2) |

Három abszolútérték is van benne. Az első válaszban a belső absz.érték jelek lemaradhattak.

Hanyadikos vagy? Azért kérdezem, hogy pl. kell-e monotonitást számolni, meg határértékeket is pluszminusz végtelenben, stb?

Azt kapásból lehet tudni, hogy a függvény értékkészlete nem lehet negatív (a külső abszolútérték miatt).

Értelmezési tartománya: Mindenhol értelmezve van, kivéve, ahol a nevező 0 lenne. Az akkor 0, ha |x|=2, vagyis x=2 és x=-2 esetén. Szóval azt ki kell kötni, hogy x nem lehet ±2.

Zérushely: A függvény ott 0, ahol a számlálója nulla. Vagyis |x|=1, tehát két zérushelye van: x=1 és x=-1.

Páros vagy páratlan függvény: Mivel minden x abszolút értékbe van téve, biztos, hogy pozitív számra ugyanaz lesz a függvényérték, mint az ugyanakkora negatívra. Ez azt jelenti, hogy f(x)=f(-x), vagyis a függvény páros. Köznapi szavakkal ez a párosság azt jelenti, hogy a függvény rajza tükrözve van az y tengelyre.

A függvény menete: Az abszolútértékek miatt is intervallumonként kell nézni. 5 határpont van az intervallumok között:

- 0, mert a körül az x előjelet vált

- +1 és -1, mert a körül a számláló előjelet vált

- +2 és -2, mert a körül a nevező előjelet vált.

Akkor nézzük:

a) x < -2

Itt |x|-ből minusz x lesz. |x|-1 és |x|-2 is pozitívak, hányadosuk is az, a külső abszolút érték ezért simán elhagyható. A függvényből ez lesz az absz.érték jelek elhagyásával:

(-x-1)/(-x-2)

Kicsit átalakítva:

(x+1)/(x+2) = (x+2-1)/(x+2) = 1 - 1/(x+2)

Mivel x+2 negatív, ezért a függvényérték nagyob 1-nél.

Mivel az 1/(x+2) függvény szigorúan monoton csökkenő ebben az intervallumban, azt kivonva 1-ből szigorúan monoton növekvő menetet kapunk.

b) -2 < x ≤ -1

Itt is |x|-ből minusz x lesz. |x|-1 pozitív, |x|-2 negatív, a hányadosuk negatív, ezért a külső abszolút érték jel ezt megnegálja. Az egész függvényből ez lesz:

(-x-1)/(x+2)

Átalakítva:

(-x-1)/(x+2) = (1-(x+2))/(x+2) = 1/(x+2) - 1

Az 1/(x+2) függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért ezen az intervallumon az f(x) is olyan.

c) -1 < x ≤ 0

Itt |x| még mindig egyenlő minusz x-szel. |x|-1 negatív, |x|-2 szintén, hányadosuk pozitív. Ez lesz az abszolút-érték jelek elhagyásából:

(-x-1)/(-x-2)

Ez ugyanaz, mint az első intervallumnál:

1 - 1/(x+2)

Ugyanúgy mint ott is, itt is szigorúan mononton növekvő a függvény menete.

d) 0 < x ≤ 1

Itt már |x| egyszerűen x lesz. |x|-1 és |x|-2 is negatívak, hányadosuk pozitív, a külső absz.érték elhagyható:

(x-1)/(x-2)

Átalakítva:

(x-1)/(x-2) = (x-2 + 1)/(x-2) = 1 + 1/(x-2)

Ez szigorúan mononton csökkenő.

e) 1 < x < 2

Itt is már |x| egyszerűen x lesz. |x|-1 pozitív, |x|-2 negatív, hányadosuk negatív, a külső absz.érték elhagyáskor negál:

(1-x)/(x-2)

Átalakítva:

(1-x)/(x-2) = (-1 - (x-2))/(x-2) = -1 - 1/(x-2)

Mivel 1/(x-2) szig.mon.csökk, ezért a függvény a kivonás miatt szig.mon.növekedő ezen az inetvallumon.

Utolsó:

f) x > 2

Itt minden pozitív, ez lesz a függvény az absz.érték jelek nélkül:

(x-1)/(x-2)

Átalakítva:

(x-1)/(x-2) = (x-2 + 1)/(x-2) = 1 + 1/(x-2)

Ez szig.mon.csökkenő.

Határértékek:

-∞ itt a függvény ez volt az a) intervallumban:

1 - 1/(x+2)

A második tag negatív és a 0-hoz tart, ezért a függvény 1-hez tart.

+∞ itt a függvény ez volt az f) intervallumban:

1 + 1/(x-2)

Ez is hasonlóképpen 1-hez tart.

x=-2 esetén valamint x=+2 esetén is (amikor 0-val osztunk) a függvénynek szakadása van, határértéke plusz végtelen.

A felrajzoláshoz érdemes megnézni, hogy az intervallumok határán mi a függvényérték (már ahol van):

x=-1: 0

x=0: 1/2

x=+1: 0

Ha ezeket berajzolod, meg a határértékeket is figyelembe veszed, akkor a függvény menete szerint intervallumonként meg tudod rajzolni, hogy nagyjából hogyan néz ki.

Ha puskázni szeretnél, megnézheted, mit rajzol fel a wolframalpha:

[link]

Persze, jó amit rajzol. Kétféle nagyításban rajzolta ki, hogy jobban lehessen látni azt is, hogy a 0 körül hogyan viselkedik a függvény. Ha kicsit "messzebbről" akarod nézni, mögé kell írni mondjuk azt, hogy from -10 to 10.

Így:

[link]