Ügyes matekos jelentkezését várom! (? ) 10. osztály, másodfokú egyenlet

Megvan!!!

x² + [5x/(x + 5)]² = 11

A megoldás a teljes négyzetté kiegészítés a következő formában:

[x - 5x/(x + 5)]² + 2x*5x/(x + 5)] = 11

Az első szögletes zárójelben az összevonás után marad

[x²/(x + 5)]² + 10x²/(x + 5) = 11

Az új változó

a = x²/(x + 5)

ezzel az egyenlet

a² + 10a - 11 = 0

Ez egy jól nevelt egyenlet, szép gyökei vannak:

a1 = 1

a = -11

Vissza a helyettesítéshez

Átrendezve

0 = x² - a*x - 5a

ezt kell megoldani a két 'a' érték esetén

(1) a = 1

akkor

0 = x² - x - 5

A gyökei

x1 = (1+ √21)/2

x2 = (1 - √21)/2

(2) a = -11

ekkor

0 = x² + 11x + 55

Ennek nincs valós gyöke, kiesett a játékból.:-)

A porondon maradt két gyök közül helyettesítéssel lehet eldönteni, melyik a jó.

A próbát az x1 állta ki, tehát a megoldás:

x = (1+ √21)/2

===========

Phűűűűű! :-)))

DeeDee

***********

A kiiro kiegeszitese szerint tehat nem ez a feladat:

A)

x^2+(25x^2/(x+5))^2=11

Hanem ez:

B)

x^2+(25x^2/(x+5)^2)=11

Mivel DeeDee megoldotta az elso valtozatot, megcsinalom a masodikat, aztan valamelyik majd jo lesz.

Szorozzuk mindket oldalt (x+5)^2 -nel:

x^2 * (x+5)^2 + 25x^2 = 11 (x+5)^2

x^2 * (x+5)^2 + 25x^2 - 11 (x+5)^2=0

x^2*(x^2+10x+50) -11(x+5)^2 =0

(x^2 - (x+5)) * (x^2 + 11(x+5)) = 0

(x^2 - x - 5) ( x^2 +11x + 55) =0

Vagy x^2 - x - 5 =0

vagy x^2 +11x + 55 =0

Ez ket masodfoku egyenlet,

megoldhato megoldokeplettel.

A masodik egyenletnek nincs valos gyoke,

az elsonek meg (1 +/-√21 )/2

Hogy itt milyen uj valtozot lehetne bevezetni arrol viszont fogalmam sincs.

BKRS

Ugyanazt az egyenletet oldottuk meg mindketten, csak más módszerrel! :-)

Én a tört négyzetét írtam le, nem külön a számláló és a nevező négyzetét.

x² + [5x/(x + 5)]² = 11

ugyanaz mint

x² + 25x²/(x + 5)² = 11

Lécci kicsit részletezni, hogy következik az

x²*(x² + 10x + 50) -11(x + 5)² =0

sorból az

(x² - (x + 5)) * (x² + 11(x + 5)) = 0

sor, mert nem egészen világos az átalakítás.

DeeDee

**********

Bocs, nem kell a részletezés, rájöttem, hogy csináltad. :-)

Kissé fáradt vagyok. :-)

DeeDee

*******