Hány különböző egyenes húzható egy kocka csúcsain át úgy, hogy minden egyenes két csúcsot tartalmazzon?

Egy lapon belül egy csúcsról 3 egyenes húzható valamelyik másik csúcsig. Egy csúcsból 3 lap közelíthető meg. A kockának van 8 csúcsa. Ez összesen: 8*3*3 = 72, de mivelhogy mindegyik egyenes két csúcsot köt össze, ezért 2x vannak számolva, elosztjuk tehát a kapott eredményt 2-vel:

72/2 = 36

Továbbá minden csúcsból húzhatunk egy egyenest, mint testátlót. Ez összesen 8, de mivelhogy megintcsak mindegyik egyenes két csúcsot köt össze, ezért 2x vannak számolva, elosztjuk tehát a kapott eredményt 2-vel:

8/2 = 4

A megoldás tehát: 36 + 4 = 40

Gondolom, jól számoltam.

Mivel a kocka semelyik 3 csúcsa nincs egy egyenesen, ezért alkalmazható a szokásos n(n-1)/2 képlet. Mintha egy n csúcsú teljes gráf éleit számolnád meg, vagy egy n tagú társaságban a kézfogásokat (feltéve, hogy mindenki mindenkivel pontosan egyszer). Esetünkben n=8 (a kocka csúcsainak száma). Így a megoldás:

8*7/2=28

Az előző számításnál elnéztem valamit.

A lapok is kapcsolódnak egymáshoz és ezért a 3 csúcsból kettőt nem 2x, hanem 4x számolunk ennél a módszernél, vagyis:

8*3*2/4 + 8*3/2 + 8/2 = 12 + 12 + 4 = 28

Amúgy az előző válaszoló megoldása az egyszerűbb.