Milyen értékek között mozoghat a szabályos háromszög és szabályos hatszög területének az összege, ha a háromszög és hatszög oldalának összege 20?

Legyen a háromszög oldala x, a hatszögé pedig 20-x.

A háromszög területe x²·√3/4, a hatszögé pedig 6·(20-x)²·√3/4. Összegük:

T = (√3/4)·(x²+6·(20-x)²)

T = (√3/4)·(7x²-240x+2400)

Teljes négyzetté alakítva a második tagot:

T = (√3/4)·((7x-120)² + 2400)/7

T = (√3/28)·((7x-120)² + 2400)

A szélsőértékeket a második tag határozza meg. Annak minimuma 2400 akkor, amikor 7x=120, tehát x≈17,14. Ez benne van a (0;20) intervallumban, tehát az intervallumon belül is ez a minimum.

Ezen x-től "jobbra" is meg "balra" is a másodfokú függvény szigorúan monoton, tehát maximuma az intervallum szélénél lesz: vagy x=0-nál, vagy x=20-nál. x=0-nál a nagyobb az érték, tehát ott veszi fel a maximumot.

A területösszeg tehát ezen értékek között mozog:

(√3/28)·2400 ≤ T < (√3/28)·(120² + 2400)

(√3/28)·2400 ≤ T < (√3/28)·16800

(600·√3)/7 ≤ T < 600·√3

(A 600·√3-mas maximumot azért nem veheti fel, mert akkor 0 méretű lenne a háromszög, tehát már nem is lenne.)