Mekkora annak a szabályos gúlának a térfogata és felszíne, melynek az alapéle 10cm, az oldalélei 20cm hosszúak, az alapja pedig a, háromszög b, négyszög c, ötszög d, hatszög?

A gúlára vonatkozó alapképletet megtalálod a sárga függvénytáblázat 43. oldalán. Készíts el a szabadkézi axonometriás drótvázmodellt, majd négyzet esetén az átló menti oldalnézet alapján kapásból alkalmazhatod a Pitagorasz-tételt. Tetraéder esetén a szabályos háromszög súlypontja és alapháromszög egyik csúcspontja valamint a tetraéder csúcsa fogja meghatározni a derékszögű háromszöget. Kelleni fog még a szabályos ötszög köré rajzolható kör sugara is. Egyik kiinduló képlet a sárga függvénytábla 40. oldal alján található ábra alapján.

Szabályos hatszög esetén még ez sem kell, mert annyira nyilvánvaló, hogy R=alapél. Folyt. következő lapon.

f legyen a négyzet esetén az átló fele.

a := 10

b := 20

a·gyök(2)

f := ——————--- = 5*gyök(2)

Ebben az esetben az oldalnézeten a Pitagorasz-tétel így kellene alkalmazni:

b^2=f^2+m^2

m=5*gyök(14)

A gúla magassága m, térfogata v, felszíne A, alapterület T, palást P.

T=a^2=100

V:=T*m/3=500*gyök(14)/3

Palást területe négy darab egyenlőszárú háromszög területe. Itt használni fogjuk a háromszögre vonatkozó Héron-képletet, ahol s a háromszög félkerülete.

s:=(2b+a)/2=25

P=4*gyök(s(s-a)(s-b)(s-b))=100*gyök(15)

A:=T+P=100+100*gyök(15)

----------------------------------------------------

Háromszög esetén a a súlyvonal hossza legyen x. A csúcspont és a Háromszög súlypontjának a távolsága 2x/3.

x=5*gyök(3)

Most az oldalnézeten a Pitagorasz-tétel így néz ki:

b^2=(2x/3)^2+m^2

m=10*gyök(33)/3

A háromszög magassága megegyezik a kiszámított x súlyvonal hosszával.

T=ax/2=25*gyök(3)

V=Tm/3=250*gyök(11)/3

Palást területe három darab egyenlőszárú háromszög területe. Itt használni fogjuk a háromszögre vonatkozó Héron-képletet, ahol s a háromszög félkerülete.

s=25

P=3*gyök(s(s-a)(s-b)(s-b))= 75*gyök(15)

A=T+P=25*gyök(3)*(3*gyök(5)+1)

Folyt. köv. a lapon.

Ötszög esetén az 40. oldali ábra alapján látható, hogy

fi=72 fok

ahol r az ötszög köré írható kör sugara.

sin(36 fok)=a/(2r)

Innen r=gyök(10*gyök(5)+50)

Ötszög esetén a térbeli Pitagorasz-tétel így néz ki:

b^2=r^2+m^2

m=gyök(350-10*gyök(5))

A szabályos ötszög területe:

T=5r^2*sin(72 fok)/2=gyök(6250*gyök(5)+15625)

Palást területe öt darab egyenlőszárú háromszög területe. Itt is használni fogjuk a háromszögre vonatkozó Heron-képletet, ahol s a háromszög félkerülete.

s=25

P=5gyök(s(s-a)(s-b)(s-b))=125*gyök(15)

A=T+P=gyök(6250*gyök(5)+15625)+125*gyök(15)

V=Tm/3=gyök(2031250*gyök(5)/9+1718750/3)

-----------------------

Hatszög esetén megállapodtunk abban, hogy r=a.

Hatszög esetén a térbeli Pitagorasz-tétel így néz ki:

b^2=r^2+m^2

m=10*gyök(3)

Szabályos hatszög területe:

T=6r^2*sin(60)/2=150*gyök(3)

Palást területe hat darab egyenlőszárú háromszög területe. Itt is használni fogjuk a háromszögre vonatkozó Héron-képletet, ahol s a háromszög félkerülete.

s=25

P=6*gyök(s(s-a)(s-b)(s-b))=150*gyök(15)

A=T+P=150(gyök(15)+gyök(3))

V=Tm/3=1500

Sz.Gy.