Az ABC derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság CD. Bizonyítsuk be, hogy az ADC és BCD háromszögekbe írt körök területének összege egyenlő az ABC háromszögbe írt kör területével. Valaki segítene?

Itt van egy lehetséges válasz a sok közül:

[link]

Sajnos az arányosság felírásánál az első sorban volt egy hiba ( a és b felcserélődött ), ezért javítva újra feltöltöttem:

[link]

A derékszögű háromszög apró szépségei. :-)

Bizonyítandó, hogy

r(a)²*π + r(b)²*π = r²*π

Egyszerűsítés után

r(a)² + r(b)² = r²

összefüggést kellene igazolni.

Legyen

a, b - a kiinduló háromszög befogói

c - az átfogója

c(a) - az 'a' oldal vetülete az átfogón

c(b) - a 'b' oldal vetülete az átfogón

m - az átfogóhoz tartozó magasság

r(a) - az 'a' oldali háromszög beírt sugara

r(b) - a 'b' oldali háromszög beírt sugara

r - a kiinduló háromszög beírt sugara

Egy olyan levezetést szeretnék mutatni, amelyik kihasználja a derékszögű háromszögben érvényes összefüggéseket.

Ebben az esetben a következőből lehet kiindulni.:

Tétel:

A derékszögű háromszögben az átfogó hossza egyenlő a két befogó összegéből levonva a beírt kör sugarának kétszeresét.

Képlettel

c = a + b - 2r (Könnyen igazolható)

A kiinduló háromszöget az átfogóhoz tartozó magasság két részháromszögre osztja.

Ezek adatai

Az 'a' oldali háromszög

c(a) - a befogónak az átfogóra eső vetülete

m - az átfogóhoz tartozó magasság

a - az átfogó

A 'b' oldali háromszög ugyanazon adatai

c(b) - a befogónak az átfogóra eső vetülete

m - az átfogóhoz tartozó magasság

b - az átfogó

A fenti tétel értelmében a két részháromszögre írható

a = c(a) + m - 2*r(a)

b = c(b) + m - 2*r(b)

Az eredeti háromszögre

c = a + b - 2r

Ezekből a sugarak

(A) 2*r(a) = c(a) + m - a

(B) 2*r(b) = c(b) + m - b

(C) 2r = a + b - c

A képletek ismeretlen 'alkatrészei'

c(a), c(b), m

Ezeket az oldalakkal kell kifejezni

Tétel:

A derékszögű háromszög befogója mértani középarányos az átfogó és a befogónak az átfogóra eső vetülete közt.

Eszerint írható

a² = c*c(a)

amiből

c(a) = a²/c

Hasolóan a 'b' oldali vetület

b² = c*c(b)

c(b) = b²/c

A magasság a derékszögű háromszögben

m = a*b/c (Egyszerűen igazolható)

Most már össze lehet rakni a sugarakat

2*r(a) = c(a) + m - a

2*r(a) = a²/c + ab/c - a

2*r(a) = (a² + ab - ac)/c = a(a + b - c)/c

2*r(a) = (a/c)(a + b - c)

Ugyanez a mások sugár esetén

2*r(b) = c(b) + m - b

2*r(b) = (b/c)(a + b - c)

Tehát a két sugár

2*r(a) = (a/c)(a + b - c)

2*r(b) = (b/c)(a + b - c)

A jobb oldal a (C) összefüggés felhasználásával

a + b + c = 2r

Így

2*r(a) = (a/c)*2r

2*r(b) = (b/c)*2r

egyszerűsítés után

r(a) = (a/c)*r

r(b) = (b/c)*r

Ezekkel a bizonyítani kívánt összefüggés

r(a)² + r(b)² = r²(a²/c² + b²/c²) = r²(a² + b²)/c²

Tehát a végeredmény

r(a)² + r(b)² = r²

===========

Q.E.D

U.i.: A részháromszögekbe írható körök középpontjának távolsága

d = r√2

ahol

r - a kiinduló háromszögbe írható kör sugara

Lehet igazolni! :-)

DeeDee

**************