Egy háromszög két magasságának hossza 6cm és 8cm. Igazoljuk, hogy a harmadik magasság szigorúan kisebb, mint 24cm. Segít valaki megoldani?

ma=6, mb=8

Az oldalai a,b,c

Területe: T=a·ma/2 stb.

Vagyis:

a = 2T/ma = 2T/6 = T/3

b = 2T/mb = 2T/8 = T/4

A háromszög-egyenlőtlenség szerint bármely két oldal összege nagyobb, mint a harmadik oldal (mert egyébként "nem érnének össze" az oldalak). Tehát pl.:

b+c > a

c > a-b = T/3 - T/4 = T/12

Akkor viszont:

mc = 2T/c < 2T/(a-b) = 2T/(T/12) = 24

----

Egyébként kijön más érdekes dolog is a háromszög-egyenlőtlenségből:

c < a+b = T/3 + T/4 = T·7/12

Akkor viszont:

mc = 2T/c > 2T/(a+b) = 2T/(T·7/12) = 24/7

Szóval mc a (24/7; 24) intervallumban lehet csak.