Matematika 11. Egy háromszög 4 cm-es oldalával szemben lévő szög 40 fokos, az oldalhoz tartozó súlyvonal 5 cm. Mekkora a másik két oldal hossza?

Koordinata geometrias megoldas (nem otletes, viszont joval szamolgatosabb lesz mint az elozo tukrozos megoldas)

Tatpsszunk a haromszoghoz egy koordinatarendszert:

A(0,-2), B(0,2) pontban van es ha a C kooridnatait is tudnank, akkor Pitagorasz tetellel lehetne szamolni az oldal hosszakat. Legyen C mondjuk valahol aaz x>0 felsikban.

Azt tudjuk, hogy C rajta van az x^2+y^2=25 koron.

Ugyanakkor:

(x+a)^2+y^2 = a^2+4; a<0 kor atmegy az A es a B ponton is.

Ennek x>0 felsikbeli pontjaibol az AB szakasz mondjuk "s" szog alatt latszik.

Ez a kor az x tengelyt a T: ((a^2+4)^(1/2)-a, 0) ponban metszi:

TA es TB vektorokra:

TA*TB = |TA| * |TB| * cos(s)

((a^2+4)^(1/2) - a)^2 -4 = (((a^2+4)^(1/2)-a)^2 + 4)*cos(s)

Ha s = 40 fok

((a^2+4)^(1/2) -a)^2 *(1-cos(40)) = 4(1+cos(40))

((a^2+4)^(1/2) -a)^2 *0.233955557 = 7.06417777

((a^2+4)^(1/2) -a)^2 = 30.1945287

(a^2+4)^(1/2) -a = 5.49495484

(a^2+4)^(1/2) = 5.49495484 + a

a^2+4 = 30.1945287 + 10.9899097*a +a^2

a = (4-30.1945287)/10.9899097=-2.38350718

Vegig hordva a cos-okat ellenorzeskent:

(a^2+4)^(1/2) = (4*(1+cos(40))/(1-cos(40)))^(1/2) + a

a^2+4 = (4*(1+cos(40))/(1-cos(40))) + 2a*(4*(1+cos(40))/(1-cos(40)))^(1/2) + a^2

2a*(4*(1+cos(40))/(1-cos(40)))^(1/2) = 4- (4*(1+cos(40))/(1-cos(40)))

a = (4-(4*(1+cos(40))/(1-cos(40))))/(2*(4*(1+cos(40))/(1-cos(40)))^(1/2))

a = (4 - (4*(1 + cos(40 degree)) / (1 - cos(40 degree)))) / (2 * ((4*(1 + cos(40 degree)) / (1 - cos(40 degree)))^(1 / 2))) = -2.38350719

OK,

szoval akkor ket kor metszespontjat kell meghatarozni ahhoz, hogy C-t megkapjuk:

x^2+y^2=25

(x-2.38350718)^2+ y^2= 9.68110648

x^2 - (x-2.38350718)^2 = 15.3188935

2*2.38350718*x - 2.38350718^2 = 15.3188935

2*2.38350718*x = 21

x= 4.40527307

4.40527307^2+y^2=25

y^2 = 20.5947269

y=4.53814135

(lesz egy masik megoldas is, de az oldalak hossza az erdekes, amin a masik megoldas nem valtoztat)

Tehat C:(4.40527307, 4.53814135)

Ismert tehat A,B,C koordinatai, amibol mar szamithatoak az oldalak hosszai.

Első válaszoló vagyok. Erre a megoldásra gondoltam:

[link]

#5 -nek:

a koszinusz-tételben az oldalak négyzete szerepel.

(10^2=100, 4^2=16)