Hogy számolom ki annak a legkisebb palástú egyenes forgáskúp palástjának területét, mellyel le lehet fedni egy R sugarú gömböt?

Az alapkor sugara r, alkoto hossza a es a kup magassaga m,

ekkor m^2+r^2 = a^2

Tovabba a gomb sugara:R

Rajzolj fuggoleges keresztmetszeti abrat, keress hasonlo haromszogeket:

r/R = a/(m-R) = m/(a-r)

A(kup palast) = a*r*Pi

Ha ki tudod jatszani, hogy csak egy valtozo maradjon a felszin kepletben, akkor onnantol lehet pl derivalni.

"Ha ki tudod jatszani, hogy csak egy valtozo maradjon..."

Hát ez az! Ehhez kellene valami ötlet:

[link]

A derékszögeket bejelöltem, a CBF szög pedig közös szögük.

Akkor minden szögük egyenlő!

Azt hiszem, hogy kész van:

[link]

Nagyon jo.

En megprobaltam atparameterezni az egeszet es az alkoto es az alap kozti szog felet hasznalni minden helyett, jeloljuk mondjuk t-vel.

Valami ilyesmire gondoltam:

r=R/tg(t)

cos(2t)=r/a=R/(a*tg(t))

a=R/(tg(t)*cos(2t))

A=Pi*r*a=Pi*R^2 /(tg^2(t)*cos(2t))

A' = -Pi*R^2 (2tg(t)(1+tg^2(t))cos(2t) - tg^2(t)2sin(2t))/(tg^2(t)*cos(2t))^2

A'=0 ha

(2tg(t)(1+tg^2(t))cos(2t) - tg^2(t)2sin(2t))=0

2tg(t)(1+tg^2(t))cos(2t) = tg^2(t)2sin(2t)

2(1+ tg^2(t))cos(2t) = 2tg(t)sin(2t)

2cos(2t)=2sin(t)cos(t)sin(2t)

2 cos(2t) = sin^2(2t)

cos^2(2t)+cos(2t)-1=0

cos(2t)= √2 - 1

2cos^2(t)-1=√2-1

cos(t)=√(√2/2)

sin(t)=√(1 - 1/√2)

tg(t)=√(√2-1)

ctg(t)=√(1/(√2 - 1))= √(1+√2)

A=(3+2√2)Pi*R^2

Még jobb!

Ha valakinek hasznos, itt az ábra a BKRS válaszához:

[link]