Hogy jön ki ennek a sorozatnak a határértéke (sqrt (n+3) -sqrt (n-1) ) / (sqrt (n) -sqrt (n-1) )? Wolfram szerint -4, de nem tudja levezetni.

Wolfram szerint 4-hez tart, nem -4-hez.

Nem biztos, hogy így kell megcsinálni, de kijönni kijön:

lim (√(n+3) - √(n-1))/(√n - √(n-1))

Egyszerűsítsünk √n-nel:

lim (√(1+3/n) - √(1-1/n))/(√1 - √(1-1/n))

vezessük be az x=1/n változót: (x tart 0-hoz)

lim (√(1+3x)-√(1-x))/(1-√(1-x))

Ez 0/0 alakú határérték, L'Hospital:

Számláló deriváltja:

1/2·1/√(1+3x)·(3) - 1/2·1/√(1-x)·(-1)

x=0 miatt ez 4/2

Nevező deriváltja:

0 - 1/2·1/√(1-x)·(-1)

ez pedig 1/2

Tehát 4-hez tart.

Egyébként hol tanulsz? Nem VIK-es vagy véletlenül?

Megvan L'Hospital nélkül is:

lim (√(n+3) - √(n-1))/(√n - √(n-1))

Bővítsük a törtet a számlálónak meg a nevezőnek is a konjugáltjával, tehát (√+√)/(√+√)-kel:

lim ((n+3)-(n-1))/(n-(n-1))·(√n + √(n-1))/(√(n+3) + √(n-1))

Az elejéből az n-ek kiesnek, ami marad, az 4/1. A második részből pedig emeljünk ki √n-et a számlálóból és nevezőből is, és egyszerűsítsünk is vele:

= 4·lim (√1 + √(1-1/n))/(√(1+3/n) + √(1-1/n))

Az 1/n nullához tart, elhagyjuk, mindenhol √1-ek maradnak, tehát a végeredmény 4.

Igen, úgy -4 jön ki.

A fiam is VIK-es, ma volt analízis vizsgán, átment :)