Hogy kell megoldani ezt a két matek feladatot?

Nme jött ki, de elküldöm, ameddig jutottam.

Érdemes rajzolni három egymást metsző kört, azzal jobban látszik a dolog.

Nevezzük a csak angolul, németül, olaszul tanulók számát A,N,O betűknek.

Nevezzük a pontosan két nyelvet tanulókat AN,AO,NO jeleknek értelemszerűen.

Akik mindhármat tanulják, azokat most nem is kell jelölni: 2

Ezeket tudjuk:

(1) 25 = A+N+O+AN+AO+NO+2

(2) 13 = A+AN+AO+2

(3) 12 = N+AN+NO+2

(4) 12 = O+AO+NO+2

Ez 4 egyenlet és 6 ismeretlen, nem bitos, hogy meglesz.

Összeadva (2), (3), (4)-et:

37 = (A+N+O+AN+AO+NO+2)+(AN+AO+NO)+(2+2)

Zárójellel csoportosítottam is már őket. Az első épp az osztálylétszám (1), az tehát 25. Akkor viszont:

(5) AN+AO+NO = 8

Ezért (1) miatt:

(6) A+N+O = 15

A német meg olasz tanulókat (vagyis (2) meg (3)-at) összeadva:

24 = AN+AO+NO + N+O+NO + 2+2

vagyis

(7) N+O+NO = 12

A + N+O+NO = A+12

15+NO = A+12

NO = A-3

Aztán (3) és (7) miatt

AN = O-2

és (2) meg (6) miatt pedig

AO = N-2

... nem jön ki több. Vagy kell még valamit tudni, vagy éjszaka lett már :)

apa: 42

anya: x

gyerekek: a,b,c,d,... az n gyerek szumma g

(1) (42+x+g)/(n+2) = 17

(2) (x+g)/(n+1) = 12

x < 42

x > 3/2 g

ezért

(3) g < 28

(1)-ből: x+g = 17n-8

(2)-ből: x+g = 12n+12

ezért

5n=20

n=4

tehát 4 gyerek van!

x+g = 60

(3) miatt: x > 32

Gyerekek kora prím, összegük g<28:

2,3,5,... nem lehet, mert 2+3=5

2,3,7,11: g=23

2,3,7,13: g=25

2,3,7,17: g=29 már túl sok

2,5,7,... nem lehet, mert 2+5=7

2,5,11,13 nem lehet, mert 2+11=13

2,5,11,17 túl sok

3,5,7,11: g=26

3,5,7,13: g=28 már nem lehet

Tehát eddig háromféle lehet:

a)

2,3,7,11: g=23, x=37, OK

b)

2,3,7,13: g=25, x=35 nem lehet, mert 25·1,5 > 35

c)

3,5,7,11: g=26, x=34, ez is rossz

Tehát egyetlen megoldás van:

A gyerekek 2,3,7,11 évesek (anya 37)