Az ABCDA'B'C'D' téglatestben legyen M, N, illetve P az A, C, illetve B'pontok vetülete a BD' testátlóra. Igazoljuk, hogy D'M/BM D'N/BN D'P/BP>6 (nagyobb vagy egyenlő, mint6). Segít valaki megoldani?

Jeloljuk a szorzatot S-sel.

S=D'M/BM * D'N/BN * D'P/BP

Illesszunk a teglatesthez koordinatarendszert:

A(0,0,0) A'(0,0,c)

B(a,0,0) B'(a,0,c)

C(a,b,0) C'(a,b,c)

D(0,b,0) D'(0,b,c)

BD' testatlo hoszanak a neyzete nyilvan:

D'B^2=a^2+b^2+c^2

S^2 az egyes tagok negyzete.

D'M^2= c^2 + b^2 - AM^2

BM^2 = a^2 - AM^2

D'N^2= a^2+c^2-CN^2

BN^2 = b^2 - CN^2

D'P^2= a^2+b^2-B'P^2

BP^2 = c^2 - B'P^2

BD' testatlo hoszanak a neyzete nyilvan:

D'B^2=a^2+b^2+c^2

az egyenes egyenlete pedig:

y= b-bx/a

z=cy/b

A pontnak a tavolsaganak a negyzete ettol: MIN(x^2 + y^2 + z^2) =

=MIN(x^2 + y^2 +(cy/b)^2)= MIN(x^2 + y^2*(b^2+c^2)/b^2) =

=MIN(x^2 + (b-bx/a)^2 * (b^2+c^2)/b^2) =

=MIN((x^2 + (b^2+c^2) -2(b^2+c^2)x/a + (b^2+c^2)x^2/a^2) =

=MIN((a^2+b^2+c^2)/a^2 *x^2 -2(b^2+c^2)/a *x + (b^2+c^2))

ami ugey ott van ahol x=(2(b^2+c^2)/a)*(a^2/2(a^2+b^2+c^2)

x = (b^2+c^2)a/(a^2+b^2+c^2)

AM^2 = b^2+c^2 - (b^2+c^2)^2 /(a^2+b^2+c^2)

D'M^2= c^2 + b^2 - AM^2 = (b^2+c^2)^2/(a^2+b^2+c^2)

BM^2 = a^2 - AM^2 = a^2-b^2-c^2 +(b^2+c^2)^2/(a^2+b^2+c^2)=

=(a^2(a^2+b^2+c^2) -a^2(b^2+c^2) -(b^2+c^2)^ +b^2+c^2)^2)/(a^2+b^2+c^2) =

=a^4/(a^2+b^2+c^2)

D'M^2/BM^2 = (b^2+c^2)/a^4

gondolom hasonlo modon a maradek 3 tagra is kijon valami szep eredmeny aminek a szorzata egyszerusodhet meg valamennyit, aztan amit kapsz arrol kene bizonyitani pozitiv a,b,c eseten, hogy nagyobb lesz 36-nal.

Mivel szorzatrol van szo, ezert harmonikus kozep es mertani kozep kozti osszefuggest kell majd jo esellyel hasznalni.

Masik megoldas:

Jeloljuk a szorzatot S-sel.

Illesszunk a teglatesthez koordinatarendszert:

A(0,0,0) A'(0,0,c)

B(a,0,0) B'(a,0,c)

C(a,b,0) C'(a,b,c)

D(0,b,0) D'(0,b,c)

AB =a

CB =b

BB'=c

BD'=d=√(a^2+b^2+c^2)

A szogekre:

ABD' = α

CBD' = β

B'BD'= γ

Ekkor

BM = BA*cosα = a*cosα = a^2/d

BN = BC*cosβ = b*cosβ = b^2/d

BP = BB'*cosγ= c*cosγ = c^2/d

D'M = AD'*cos(90-α)=√(b^2+c^2)*sin(α)=(b^2+c^2)/d

D'N = CD'*cos(90-β)=√(a^2+c^2)*sin(β)=(a^2+c^2)/d

D'P = B'D'*cos(90-γ)=√(a^2+b^2)*sin(γ)=(a^2+b^2)/d

S=(a^2+b^2)(a^2+c^2)(b^2+c^2)/(a^2b^2c^2)

(x-y)^2 ≥0

x^2+y^2≥2xy

Ezert

S≥2ab*2bc*2ac/(a^2b^2c^2)=8

egyenloseg akkor all fenn ha a=b=c vagyis kocka eseten.

Vagyis hatarozottan nagyobb mint 6.