Ha egy paralelogrammát 3 egyenlő szárú háromszögre bonthatunk, mekkorák a paralelogramma szögei?

Ha egy négyzetnek a középpontjából 3 csúcsa felé húzunk fél átlót, akkor kapunk két negyed négyzetnyi és egy fél négyzetnyi egyenlő szárú háromszöget. A négyzet egy 90 fokos szögű paralelogramma.

Ha egy rombuszt bontunk fel ugyanígy, a két kis háromszög csak akkor lesz egyenlő szárú, ha a rombusz átlói egyenlőek, vagyis a rombusz négyzet.

A négyzeten kívül van egy másik megoldás is:

A négyzetnél az egyik egyenlő szárú háromszög két szára a négyzet két oldala, míg itt csak az egyik oldal plusz az egyik átló adja az egyenlő szárakat.

[link]

A paralelogramma egyik szöge 72° (a másik persze 108°). Az ábrán van a levezetés.

A segédegyenesek szakaszfelező merőlegesek, a szerkesztésnél volt rájuk szükségem.

Van egy harmadik megoldás is :)

Ahogy a kérdező írta: a kisebbik oldal és a rövidebbik átló lesz egyenlő szárú háromszög:

[link]

A paralelogramma szögei 45° és persze 135°

Ez végülis egy kettévágott négyzet.

Lehet, hogy ez már túlzás, de lehet más felbontást is csinálni: Ebben egyik átló sem oldala valamelyik háromszögnek, hanem a paralelogrammát egyik oldalpontjából kiindulva vágjuk háromszögekre:

[link]

Ez valójában ugyanaz a 72 fokos paralelogramma (az oldalak aránya is ugyanaz!), mint ami az első válaszomban szerepelt, csak máshogy lett háromszögekre bontva.

Szóval a paralelogrammát magát tekintve ez nem újabb megoldás. Úgy tűnik tehát, hogy 3 különböző megoldás van: négyzet, 45 fokos rombusz, 72 fokos paralelogramma.