Mértani sorozatok. Mi a megoldásának a menete ennek a feladatnak?

Az első elem legyen a, a kvóciens q, a differencia d.

a+qa+q²a = 42

qa = a+d

q²a = a+5d

Ezeket az egyenleteket lehetett felírni a szöveg alapján. Három egyenlet, 3 ismeretlen, meg lehet oldani. Szerintem értsd meg, hogyan jött ki a fenti három egyenlet, és próbáld meg megoldani. Ha elakadsz, segítünk.

Ellenőrzésképpen: Két megoldás is lesz, a második "fura".

Az se rossz elsőre.

a(1+q+q²) = 42

Utána jól meg kell nézni, hogy mit lehet még csinálni, és csak szemfülesnek kell lenni.

Mondjuk a többiből fejezzük ki q-t meg q²-et:

q = (a+d)/a

q² = (a+5d)/a

Ebből egyrészt kijön az, hogy az első négyzete egyenlő a másodikkal, vagyis:

(a+d)²/a² = (a+5d)/a

(a+d)² = a(a+5d)

Másrészt 1+q+q² felírható 1+(a+d)/a+(a+5d)/a alakban. Ezt a legfelsőbe beírva azt kapjuk:

a(1+(a+d)/a+(a+5d)/a) = 42

a + (a+d) + (a+5d) = 42

3a+6d=42

a+2d = 14

Vagyis most ez a két egyenletünk van úgy, hogy a q-tól sikerült megszabadulnunk:

a+2d = 14

(a+d)² = a(a+5d)

Mondjuk az elsőből kifejezhetjük a-t: a=14-2d

És ezt behelyettesítjük a másikba:

(14-2d+d)² = (14-2d)(14-2d+5d)

(14-d)² = (14-2d)(14+3d)

Ebből lesz d-re egy másodfokú egyenlet. Szorozd be a zárójeleket, rendezd át a másodfokút, és oldjad meg a megoldóképlettel. Írd meg, mi jött ki, segítek még utána, ha kell.

Nagyon szívesen.

Jó a megoldás, de ne feledkezz el a másikról se!

Amikor d=0, abból is sor jön ki, a=14, d=0, q=1.

Ezt úgy hívják, hogy konstans számtani illetve mértani sor, minden eleme ugyanaz a 14.

Ui: a "folytat" elipszilonos jé :)