Matek házi. Ezeket hogy kell megcsinálni?

leírom az elsőt, a többit is így kell

||x-1|-2|-3=0

||x-1|-2|=3 négyzetre emeled

x2-2x+1+4-4|x-1|=9

x2-2x-4|x-1|=4

tfh x nagyobb mint 1

x2-2x-4x+4=4

x2-6x=0

x=6, x=0, de x=0 nem jó mert x nagyobb egyenlő mint 1

tfh x kisebb mint 1

x2-2x+4x-4=4

x2+2x-8=0

x=2, x=-4, de x=2 nem jó, mert nem kisebb mint 1

Felesleges négyzetre emelni.

Az abszolút értékes feladatoknál két ágra kell bontani a megoldást: a) az abszolút értéken belül pozitív az érték, b) negatív.

1. ||x-1|-2|-3=0

a) Ha |x-1|-2 > 0

Ekkor a külső abszolút érték jel simán elhagyható:

|x-1|-2 -3 = 0

|x-1| = 5

Itt megint két ág:

aa) Ha x-1 > 0, akkor simán elhagyjuk a vonalakat:

x-1 = 5

x=6

ab) Ha x-1 < 0, akkor x-1 abszolút értéke a minusz egyszerese lesz, tehát úgy tudjuk elhagyni a vonalakat, hogy közben negáljuk a belsejét: x-1-ből 1-x lesz:

1-x = 5

x = -4

b) Ha |x-1|-2 < 0

Ekkor a külső vonalak elhagyásakor minusz 1-szerese, vagyis 2-|x-1| lesz:

2-|x-1| - 3 = 0

|x-1| = -1

Ez pedig nem lehet.

Vagyis az előző két megoldás van csak: x=6 illetve x=-4

Ugy megértetted a választ?

Ha ellenőrizni szeretnéd, itt megteheted:

[link]

2)

|2-3|x|| / |1+|x|| = 1

Szorozzunk be a nevezővel:

|2-3|x|| = |1+|x||

Az első feladatnál a külső abszolút érték jel elhagyásával kezdtem, de kezdhetjük a belsővel is:

a) Ha x>0, akkor |x| egyszerűen x lesz:

|2-3x| = |1+x|

Most vagy mindkét kifejezés az absz.értéken belül egyforma előjelű, vagy az egyik pozitív, a másik meg negatív. Ezt a 2 esetet elegendő nézni. (Ha egyenlőtlenség lenne, akkor 4 esetet kellene vizsgálni!)

aa) azonos előjelűek (vagy pozitív, vagy negatív):

2-3x = 1+x

4x = 1

x = 1/4

ab) egyik negatív (mindegy, melyik):

3x-2 = 1+x

2x = 3

x = 1,5

b) Ha x<0, akkor |x| negálva -x lesz:

|2+3x| = |1-x|

Most is elég két esetet nézni:

ba) egyforma előjelűek:

2+3x = 1-x

4x = -1

x = -1/4

bb) különböző előjelűek:

2+3x = x-1

2x = -3

x = -1,5

Ez a négy megoldás lehet.

3. |x+3|-2<3x

Ez nagyon egyszerű, egyetlen abszolút érték van benne, kétfelé kell ágazni. Viszont itt be tud jönni hamis gyök is, úgyhogy mégiscsak levezetem:

a) Ha x+3 > 0 (vagyis x > -3) :

x+3-2<3x

1<2x

x>1/2

Esetleges hamis gyök elkerülés céljából ellenőrzés:

Ez rendben van, mert x>-3 tényleg teljesül.

b) Ha x+3 < 0 (vagyis x < -3) :

-x-3 - 2 < 3x

-5 < 4x

x > -5/4

Ez viszont hamis gyök, hisz nem teljesíti az eredeti feltételt, hogy x<-3.

Tehát csak az x>1/2 a megoldás

4)

Ez szívatós példa, három beágyazott abszolút érték. Ebből 8 ágat (kettő a harmadikon) kell majd csinálni... Persze nincs benne semmi nehézség, csak ha nem koncentrál eléggé az ember, belezavarodhat. Fontos tehát, hogy szisztematikusan mindent végiggondoljunk.

Az előző feladatoknál "lazán" kezeltem a feltételeket (mindig csak kisebb vagy nagyobbat írtam, és nem írtam, mi van, ha pont egyenlő; azt bármelyik ágon jól lehet kezelni), itt viszont már az, hogy az, hogy valami nagyobb vagy nagyobb-egyenlő, az a különbségtétel is nagyon fontos lesz.

|||x-1|-2|-3| > 1

Induljunk el belülről kifelé:

a) Ha x-1 ≥ 0 (vagyis x ≥ 1)

||x-1 - 2|-3| > 1

||x-3|-3| > 1

aa) Ha x-3 ≥ 0 (vagyis x ≥ 3 (x ≥ 1 is teljesül))

|x-3-3| > 1

|x-6| > 1

aaa) Ha x-6 ≥ 0 (vagyis x ≥ 6 (x ≥ 3 és x ≥ 1 is teljesül))

x-6 > 1

x > 7 EZ AZ EGYIK MEGOLDÁS

aab) Ha x-6 ≤ 0 (vagyis x ≤ 6, és az aa) feltétel szerint x ≥ 3)

6-x > 1

x < 5

Az előfeltételeket is figyelembe véve a megoldás:

3 ≤ x < 5 EZ A MÁSIK MEGOLDÁS

ab) Ha x-3 ≤ 0 (vagyis x ≤ 3 és a) miatt x ≥ 1)

||x-3|-3| > 1 az eredeti, felbontva:

|3-x - 3| > 1

|-x| > 1

Most nem is csinálok külön aba) és abb) eseteket, látszik ránézésre, hogy ez x>1 valamint x<-1 esetén teljesül. Összevetve az alapfeltétellel (vagyis most azzal, hogy 1≤x≤3) az jön ki, hogy:

1 < x ≤ 3 EZ A HARMADIK MEGOLDÁS

b) Ha x-1 ≤ 0 (vagyis x ≤ 1)

|||x-1|-2|-3| > 1 volt az eredeti, felbontva:

||1-x - 2|-3| > 1

||-1-x|-3| > 1

ba) Ha -1-x ≥ 0 (vagyis x ≤ -1 (a b. szerinti x≤1 is teljesül))

|-1-x - 3| > 1

|-4-x| > 1

baa) Ha -4-x ≥ 0 (vagyis x ≤ -4 (előzőek is teljesülnek))

-4-x > 1

x < -5 EZ A NEGYEDIK MEGOLDÁS

bab) Ha -4-x ≤ 0 (vagyis x ≥ -4, öszesítve ba)-val: -4 ≤ x ≤ -1)

|-4-x| > 1 az eredeti, kifejtve:

4+x > 1

x > -3

összevetve az előfeltételekkel:

-3 < x ≤ -1 EZ AZ ÖTÖDIK MEGOLDÁS

bb) Ha -1-x ≤ 0 (vagyis x ≥ -1, összesítve a b. szerinti x≤1-gyel: -1 ≤ x ≤ 1)

||-1-x|-3| > 1 az eredeti, kifejtve:

|1+x - 3| > 1

|x-2| > 1

bba) Ha x-2 ≥ 0, vagyis x ≥ 2, de az nem lehet a bb) feltétele szerint, tehát ezt az ágat nem nézzük.

bbb) Ha x-2 ≤ 0, vagyis x ≤ 2, ez nem szűkíti tovább bb) előfeltételét, tehát továbbra is -1 ≤ x ≤ 1

|x-2| > 1 az eredeti, kifejtve:

2-x > 1

x < 1

összevetve az alapfeltétellel:

-1 ≤ x < 1 EZ A HATODIK MEGOLDÁS

------

A hat megoldást egy számegyenesen ábrázolva látszik, hogy némelyiket, amik összeérnek, össze lehet vonni egy nagyobb intervallumba, így ez a négy intervallum jön ki végül:

-5<x, -3<x<1, 1<x≤5, 7<x

A középső kettőt nem lehet összevonni, mert x=1 nem megoldás, ott üres karika van.

----

Ez elég elriasztó tud lenni, belátom :)

Érdemes megnézni hozzá egy ábrát is. Megrajzolni nem könnyű, bár nehéznek sem mondanám, szóval abba is bele lehet zavarodni...

A következő linken az ábrát érdemes nézni, meg a legalján a számegyenest. A közepe valami teljesen más, azt ne nézd.

[link]

5

|x²-1|/|x+2| < 1

Szorozzunk be |x+2|-vel. Mivel pozitív, szabad szorozni.

|x²-1| < |x+2|

a) x+2 ≥ 0, tehát x ≥ -2

|x²-1| < x+2

aa) x²-1 ≥ 0, tehát x² ≥ 1.

Ez két esetben lehet:

x ≤ -1, összevetve a-val: -2 ≤ x ≤ -1

x ≥ 1 (ekkor a. is teljesül)

x²-1 < x+2

x²-x-3 < 0

Ennek a gyökeit ki lehet számolni, ez jön ki:

x1 = (1-√13)/2 ≈ -1,3

x2 = (1+√13)/2 ≈ 2,3

a közöttük lévő nyílt intervallumot kell összevetni a feltételekkel. Az lesz, hogy:

x: (x1;x2) \ (-1;1)

ab) x²-1 ≤ 0, tehát x² ≤ 1, vagyis -1 ≤ x ≤ 1 (a-val összevetve nem változik ez a feltétel)

1-x² < x+2

A bal oldal az adott intervallumnál 0 és 1 közé esik, a jobb oldal meg 1 és 3 közé, és nem ugyanakkor veszik fel az 1 értéket, tehát az egyenlőtlenség teljesül. Vagyis az intervallum megoldás:

-1 ≤ x ≤ 1

Ez pont kitölti azt a lukat, ami az aa) esetnél volt a megoldásban!

b) x+2 ≤ 0, tehát x ≤ -2

|x²-1| < -x-2

A -2-nél kisebb x-ekre x²-1 biztos, hogy pozitív (legalább 3), tehát elhagyható az abszolút érték jel elágazás nélkül:

x²-1 < -x-2

x² < -x-1

Ránézésre látszik, hogy ez -2-nél kisebb x-ekre sosem teljesül (de ha nem látod, kiszámolhatod a másodfokú egyenlőtlenségből, hogy semmilyen x-re nem teljesül, nem csak a -2-nél kisebbekre...)

Tehát a b) ágból nem származik megoldás.

Összes megoldás:

(1-√13)/2 < x < (1+√13)/2

6. |x| = |y| ábrázolása:

Ez sokkal egyszerűbb, mint az előzőek.

A két kifejezés vagy egyforma előjelű, akkor elhagyható az absz.jel, vagy ellenkező előjelű, akkor meg az egyiket mínusz 1-gyel szorozni kell. Vagyis:

a) y=x

b) y=-x

az első képe egy 45 fokos egyenes, a másodiké meg a tükörképe.